เปิดเมนูหลัก

สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี

ในคณิตศาสตร์ สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ในรูปแบบ

เรียกว่า สมการแบร์นูลลี (อังกฤษ: Bernoulli equation) เมื่อ , ซึ่งสมการนี้ตั้งชื่อตาม ยาคอบ แบร์นูลลี (Jakob Bernoulli) ผู้ซึ่งนำเสนอสมการรูปแบบนี้ไว้ในปี ค.ศ. 1695 (Bernoulli 1695) สมการแบร์นูลลี นั้นมีความน่าสนใจเพราะสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นที่ (nonlinear differential equations) มีผลตอบแม่นตรง (exact solution)

ตัวอย่างแก้ไข

ตัวอย่างที่ 1แก้ไข

พิจารณา

 

หารตลอดทั้งสมการ

 

ให้   เมื่อทำการหาอนุพันธ์จะได้ว่า

 

ทำการหาปริพันธ์

 

เนื่องจาก   ดังนั้น   มีค่าเท่ากับ

 

ตัวอย่างที่ 2แก้ไข

พิจารณาสมการแบร์นูลลี

 

โดยชัดเจน   เป็นหนึ่งในผลลัพธ์ เมื่อหารด้วย   จะได้

 

เมื่อเปลี่ยนตัวแปรได้รูปแบบสมการใหม่

 
 
 

ซึ่งสามารถหาแก้สมการได้โดยใช้ตัวประกอบปริพันธ์

 

คูณด้วย  ,

 

โดยที่ ด้านซ้ายคืออนุพันธ์ของ   ดำเนินการหาปริพันธ์ทั้งสองข้างของสมการจะได้สมการ

 
 
 

ผลลัพธ์   คือ

 

และ  .

การโปรแกรมใน Math Labแก้ไข

เราสามารถทำการตรวจสอบกับในโปรแกรมแมตแล็บ (MATLAB) โดยใช้ symbolic toolbox โดยการใช้รหัสดังข้างล่างนี้

x = dsolve('Dy-2*y/x=-x^2*y^2','x')

gives both solutions:

0
x^2/(x^5/5 + C1)

ดูเพิ่มเติมได้จาก solution โดย WolframAlpha โดยที่ผลตอบ   จะไม่แสดงผลเพราะเป็นกรณีชัดแจ้ง (trivial case) อยู่แล้ว

อ้างอิงแก้ไข

  • Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. anni de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum. Cited in Hairer, Nørsett & Wanner (1993).
  • Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0.

ดูเพิ่มแก้ไข