สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี
ในคณิตศาสตร์ สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ในรูปแบบ
เรียกว่า สมการแบร์นูลลี (อังกฤษ: Bernoulli equation) เมื่อ , ซึ่งสมการนี้ตั้งชื่อตาม ยาคอบ แบร์นูลลี (Jakob Bernoulli) ผู้ซึ่งนำเสนอสมการรูปแบบนี้ไว้ในปี ค.ศ. 1695 (Bernoulli 1695) สมการแบร์นูลลี นั้นมีความน่าสนใจเพราะสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นที่ (nonlinear differential equations) มีผลตอบแม่นตรง (exact solution)
ตัวอย่าง
แก้ตัวอย่างที่ 1
แก้พิจารณา
หารตลอดทั้งสมการ
ให้ เมื่อทำการหาอนุพันธ์จะได้ว่า
ทำการหาปริพันธ์
เนื่องจาก ดังนั้น มีค่าเท่ากับ
ตัวอย่างที่ 2
แก้พิจารณาสมการแบร์นูลลี
โดยชัดเจน เป็นหนึ่งในผลลัพธ์ เมื่อหารด้วย จะได้
เมื่อเปลี่ยนตัวแปรได้รูปแบบสมการใหม่
ซึ่งสามารถหาแก้สมการได้โดยใช้ตัวประกอบปริพันธ์
คูณด้วย ,
โดยที่ ด้านซ้ายคืออนุพันธ์ของ ดำเนินการหาปริพันธ์ทั้งสองข้างของสมการจะได้สมการ
ผลลัพธ์ คือ
และ .
การโปรแกรมใน Math Lab
แก้เราสามารถทำการตรวจสอบกับในโปรแกรมแมตแล็บ (MATLAB) โดยใช้ symbolic toolbox โดยการใช้รหัสดังข้างล่างนี้
x = dsolve('Dy-2*y/x=-x^2*y^2','x')
ให้ผลตอบทั้งสอง[1]:
0
x^2/(x^5/5 + C1)
อ้างอิง
แก้- ↑ ดูเพิ่มเติมได้จาก solution โดย WolframAlpha โดยที่ผลตอบ จะไม่แสดงผลเพราะเป็นกรณีชัดแจ้ง (trivial case) อยู่แล้ว
- Bernoulli, Jacob (1695). "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. anni de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis". Acta Eruditorum.. Cited in Hairer, Nørsett & Wanner (1993).
- Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993). Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56670-0..