สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี

ในคณิตศาสตร์ สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ในรูปแบบ

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,$

เรียกว่า สมการแบร์นูลลี (อังกฤษ: Bernoulli equation) เมื่อ $n\neq 1$, $0$ ซึ่งสมการนี้ตั้งชื่อตาม ยาคอบ แบร์นูลลี (Jakob Bernoulli) ผู้ซึ่งนำเสนอสมการรูปแบบนี้ไว้ในปี ค.ศ. 1695 (Bernoulli 1695) สมการแบร์นูลลี นั้นมีความน่าสนใจเพราะสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นที่ (nonlinear differential equations) มีผลตอบแม่นตรง (exact solution)

ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

พิจารณา

$y'+2y\operatorname {sin} x=y^{-2}\operatorname {sin} x$

หารตลอดทั้งสมการ

${\frac {y'}{y^{-2}}}+{\frac {2\operatorname {sin} x}{y^{-3}}}=\operatorname {sin} x$

ให้ $w={\frac {1}{y^{-3}}}$ เมื่อทำการหาอนุพันธ์จะได้ว่า

$w'=-w6\operatorname {sin} x+3\operatorname {sin} x$

ทำการหาปริพันธ์

$w=e^{6\operatorname {cos} x}\left({\frac {1}{2}}e^{-6\operatorname {cos} x}+C\right)={\frac {1}{2}}+Ce^{6\operatorname {cos} x}$

เนื่องจาก $w=y^{3}$ ดังนั้น $y$ มีค่าเท่ากับ

$y={}^{3}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+Ce^{6\operatorname {cos} x}}}$

ตัวอย่างที่ 2

พิจารณาสมการแบร์นูลลี

$y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}$

โดยชัดเจน $y=0$ เป็นหนึ่งในผลลัพธ์ เมื่อหารด้วย $y^{2}$ จะได้

$y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}$

เมื่อเปลี่ยนตัวแปรได้รูปแบบสมการใหม่

$w={\frac {1}{y}}$

$w'={\frac {-y'}{y^{2}}}.$

$w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}$

ซึ่งสามารถหาแก้สมการได้โดยใช้ตัวประกอบปริพันธ์

$M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.$

คูณด้วย $M(x)$,

$w'x^{2}+2xw=x^{4},\,$

โดยที่ ด้านซ้ายคืออนุพันธ์ของ $wx^{2}$ ดำเนินการหาปริพันธ์ทั้งสองข้างของสมการจะได้สมการ

$\int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx$

$wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C$

${\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C$

ผลลัพธ์ $y$ คือ

$y={\frac {5x^{2}}{x^{5}+C}}$

และ $y=0$.

การโปรแกรมใน Math Lab

เราสามารถทำการตรวจสอบกับในโปรแกรมแมตแล็บ (MATLAB) โดยใช้ symbolic toolbox โดยการใช้รหัสดังข้างล่างนี้

x = dsolve('Dy-2*y/x=-x^2*y^2','x')

ให้ผลตอบทั้งสอง:

0
x^2/(x^5/5 + C1)

อ้างอิง

• Bernoulli, Jacob (1695). "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. anni de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis". Acta Eruditorum.. Cited in Hairer, Nørsett & Wanner (1993).
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993). Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56670-0..

ดูเพิ่ม

• Bernoulli equation on PlanetMath
• Differential equation on PlanetMath
• Index of differential equations on PlanetMath