ลิมิตของลำดับ

ในวิชาคณิตศาสตร์ ลิมิตของลำดับเป็นค่าซึ่งพจน์ของลำดับ "โน้มเอียง" เข้าหา หากลำดับใดมีลิมิต ลำดับนั้นเรียก ลู่เข้า (convergent) หากลำดับไม่ลู่เข้าจะเรียก ลู่ออก (divergent) มีคำกล่าวว่าลิมิตของลำดับเป็นความคิดมูลฐานซึ่งเป็นที่ลงเอยสุดท้ายของการวิเคราะห์ทั้งหมด

$n$	$n\cdot \sin({\frac {1}{n}})$
$1$	$0.841471$
$2$	$0.958851$
$\ldots$
$10$	$0.998334$
$\ldots$
$100$	$0.999983$

เมื่อจำนวนเต็มบวก ${\textstyle n}$ มีค่ามากขึ้น ค่า ${\textstyle n\cdot \sin {\bigg (}{\frac {1}{n}}{\bigg )}}$ จะเข้าใกล้ ${\textstyle 1}$ กล่าวได้ว่า "ลิมิตของลำดับ ${\textstyle n\cdot \sin {\bigg (}{\frac {1}{n}}{\bigg )}}$ เท่ากับ ${\textstyle 1}$ "

สามารถนิยามลิมิตในปริภูมิเมตริกหรือทอพอโลยีใดก็ได้ แต่มักจะเจอครั้งแรกในระบบจำนวนจริง

จำนวนจริง

การลงจุดของลำดับลู่เข้า

\{a_{n}\}

แสดงในสีน้ำเงิน จะเห็นได้ว่าลำดับลู่เข้าลิมิตเมื่อ

n

เพิ่ม

ในจำนวนจริง จำนวน $L$ เป็นลิมิตของลำดับ $(x_{n})$ ถ้าจำนวนในลำดับมีค่าเข้าใกล้ $L$ มากขึ้น ๆ และไม่เข้าใกล้จำนวนอื่น

ตัวอย่าง

ถ้า $x_{n}=c$ สำหรับค่าคงตัว c แล้ว $x_{n}\to c$ ^{[proof 1]}
ถ้า $x_{n}={\frac {1}{n}}$ แล้ว $x_{n}\to 0$ ^{[proof 2]}
ถ้า $x_{n}={\frac {1}{n}}$ เมื่อ $n$ เป็นคู่ และ $x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$ เมื่อ $n$ เป็นคี่ แล้ว $x_{n}\to 0$ (ข้อเท็จจริงว่า $x_{n+1}>x_{n}$ ต่อเมื่อ $n$ เป็นคู่นั้นไม่เกี่ยวข้องกัน)
สำหรับจำนวนจริงใด ๆ อาจสามารถสร้างลำดับที่ลู่เข้าจำนวนนั้นได้โดยการใช้การประมาณทศนิยม ตัวอย่างเช่น ลำดับ $0.3,0.33,0.333,0.3333,\ldots$ ลู่เข้า ${\frac {1}{3}}$ หมายเหตุว่า ทศนิยม $0.3333\ldots$ เป็นลิมิตของลำดับก่อนหน้า นิยามโดย $0.3333\ldots \triangleq \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {3}{10^{i}}}$
การหาลิมิตของลำดับอาจไม่ชัดเจนเสมอไป สองตัวอย่างได้แก่ $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ (ซึ่งมีลิมิตเป็นจำนวน e) และ มัชฌิมเลขคณิต–เรขาคณิต (arithmetic–geometric mean) ซึ่ง ทฤษฎีบทบีบ (squeeze theorem) มักมีประโยชน์ในการหาลิมิตของกรณีเหล่านี้

ข้อพิสูจน์

↑ Proof: choose $N=1$ . For every $n\geq N$ , $|x_{n}-c|=0<\varepsilon$
↑ Proof: choose $N=\left\lfloor {\frac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor +1$ (the floor function). For every $n\geq N$ , $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon$ .

อ้างอิง

Courant, Richard (1961). "Differential and Integral Calculus Volume I", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.
Frank Morley and James Harkness A treatise on the theory of functions (New York: Macmillan, 1893)

[1] Proof: choose $N=1$ . For every $n\geq N$ , $|x_{n}-c|=0<\varepsilon$

[2] Proof: choose $N=\left\lfloor {\frac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor +1$ (the floor function). For every $n\geq N$ , $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon$ .

[proof 1]

[proof 2]