n n sin(1/n)
1 0.841471
2 0.958851
...
10 0.998334
...
100 0.999983

เมื่อจำนวนเต็มบวก มีค่ามากขึ้น ค่า จะเข้าใกล้ กล่าวได้ว่า "ลิมิตของลำดับ เท่ากับ "

ในวิชาคณิตศาสตร์ ลิมิตของลำดับเป็นค่าซึ่งพจน์ของลำดับ "โน้มเอียง" (tend to) หากมีลิมิต ลำดับนั้นเรียก ลู่เข้า (convergent) หากลำดับไม่ลู่เข่าจะเรียก ลู่ออก (divergent) มีคำกล่าวว่าลิมิตของลำดับเป็นความคิดมูลฐานซึ่งสุดท้ายเป็นที่ลงเอยของการวิเคราะห์ทั้งหมด

สามารถนิยามลิมิตในปริภูมิเมตริกหรือทอพอโลยีใดก็ได้ แต่ปกติพบในจำนวนจริง

จำนวนจริงแก้ไข

 
การลงจุดของลำดับลู่เข้า {an} แสดงในสีน้ำเงิน จะเห็นได้ว่าลำดับลู่เข้าลิมิตเมื่อ n เพิ่ม

ในจำนวนจริง จำนวน   เป็นลิมิตของลำดับ   ถ้าจำนวนในลำดับมีค่าเข้าใกล้   มากขึ้น ๆ และไม่เข้าใกล้จำนวนอื่น

ตัวอย่างแก้ไข

  • ถ้า   สำหรับค่าคงตัว c แล้ว  [proof 1]
  • ถ้า   แล้ว  [proof 2]
  • ถ้า   เมื่อ   เป็นคู่ และ   เมื่อ   เป็นคี่ แล้ว   (ข้อเท็จจริงว่า   ต่อเมื่อ   เป็นคู่นั้นไม่เกี่ยวข้องกัน)
  • สำหรับจำนวนจริงใด ๆ อาจสามารถสร้างลำดับที่ลู่เข้าจำนวนนั้นได้โดยการใช้การประมาณทศนิยม ตัวอย่างเช่น ลำดับ   ลู่เข้า   หมายเหตุว่า ตัวแทนทศนิยม   เป็นลิมิตของลำดับก่อนหน้า นิยามโดย
 
  • การค้นหาลิมิตของลำดับอาจไม่ชัดเจนเสมอไป สองตัวอย่างได้แก่   (ซึ่งมีลิมิตเป็น จำนวน e) และ มัชฌิมเลขคณิต–เรขาคณิต (arithmetic–geometric mean) ในกรณีนี้ ทฤษฎีบทบีบ (squeeze theorem) มักมีประโยชน์ในการหาลิมิต

ข้อพิสูจน์แก้ไข

  1. Proof: choose  . For every  ,  
  2. Proof: choose   + 1 (the floor function). For every  ,  .

อ้างอิงแก้ไข