ผู้ใช้:Prame tan/กระบะทราย 2

ในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะในสาขาคณิตวิเคราะห์ ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน (อังกฤษ: Inverse function theorem) เป็นทฤษฎีบทที่ระบุเงื่อนไขที่เพียงพอที่ทำให้ฟังก์ชันสามารถหาอินเวอร์สได้บนย่านใกล้เคียงของจุดบางจุดในโดเมนของฟังก์ชัน เงื่อนไขดังกล่าวคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และไม่เท่ากับศูนย์ที่จุดนั้น

ทฤษฎีบทนี้สมมูลกับทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย

ทฤษฎีบทนี้ยังเป็นจริงสำหรับปริภูมิและฟังก์ชันจำนวนมาก อาทิ ในกรณีที่ $f$ เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก หรือเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ระหว่างแมนิโฟลด์ หรือเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ระหว่างปริภูมิบานาค เป็นต้น

เนื้อความของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทข้างต้นมีหลายแบบสำหรับเงื่อนไขแตกต่างกัน ด้านล่างเป็นรูปแบบหนึ่ง

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน (สำหรับ $\mathbb {R} ^{n}$) — ให้ $A$ เป็นสับเซตเปิดของ $\mathbb {R} ^{n}$ และ $f\colon A\to \mathbb {R} ^{n}$ เป็นฟังก์ชันในชั้น $C^{r}$ หากอนุพันธ์รวม $Df(x)$ สามารถหาอินเวอร์สได้ที่จุด $p\in A$ แล้วจะมีย่านใกล้เคียง $U$ รอบจุด $p$ ที่ทำให้ $f$ ส่งเซต $U$ ไปยังเซตเปิด $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ อย่างหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง และ $f^{-1}\colon V\to U$ เป็นฟังก์ชันในชั้น $C^{r}$ ด้วย

เงื่อนไขที่สมมูลกันกับ อนุพันธ์รวม $Df(x)$ สามารถหาอินเวอร์สได้ที่จุด $p\in A$ คือ จาโคเบียนเมทริกซ์ $J_{f}(p)$ ที่จุด $p$ มีดีเทอร์มิแนนท์ไม่เป็นศูนย์

โดยใช้กฎลูกโซ่ จะได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันนั้นจะเท่ากับ $D(f^{-1})(x)=(Df(x))^{-1}$

ในกรณีที่ $n=1$ และ $f$ เป็นฟังก์ชันในชั้น $C^{1}$ (นั่นคือ $f$ หาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง) จะได้ทฤษฎีบทในแคลคุลัสดังนี้

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน (สำหรับ $\mathbb {R}$) — ให้ $f\colon I\to \mathbb {R}$ เป็นฟังก์ชันบนช่วงเปิด $I$ และ $f$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง โดยที่ $f'(p)\neq 0$ สำหรับบาง $p\in R$ แล้วจะได้ว่า $f$ มีอินเวอร์ส และฟังก์ชันอินเวอร์สนั้นหาอนุพันธ์ได้ที่จุด $b=f(a)$

นอกจากนี้แล้ว $(f^{-1})'(b)=1/f'(a)$

ตัวอย่าง

พิจารณาฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}\!$ กำหนดโดย

$F(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}$

เมทริกซ์จาโคเบียนของ $F$ คือ

$J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}$

โดยมีดีเทอร์มิแนนท์เท่ากับ

$\det J_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}\,\!$

จะเห็นได้ว่าดีเทอร์มิแนนท์ $e^{2x}\!$ ไม่เป็นศูนย์ทุกที่ โดยใช้ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันจึงยืนยันได้ว่า ทุก ๆ จุด $p\in \mathbb {R} ^{2}$ จะมีย่านใกล้เคียงของ $p$ ที่ทำให้ $F$ หาอินเวอร์สได้ แต่ไม่ได้หมายความว่า $F$ จะหาอินเวอร์สได้บนโดเมนทั้งหมด ทั้งนี้เพราะว่า $F$ ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งด้วยซ้ำ (เพราะ $F(x,y)=F(x,y+2\pi )\!$ ดังนั้น $F$ เป็นฟังก์ชันคาบ)

ตัวอย่างค้านเมื่อสละเงื่อนไขบางส่วน

ฟังก์ชัน $f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})$ ถูกกำกับให้อยู่ในบริเวณปิดล้อมกำลังสองใกล้เส้นตรง$y=x$ ดังนั้น $f'(0)=1$ อย่างไรก็ตามฟังก์ชันนี้มีจุดสูงสุด/ต่ำสุดเป็นจุดสะสมรอบ $x=0$ จึงทำให้ฟังก์ชันดังกล่าวไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งในบริเวณนั้น

ถ้าหากไม่มีเงื่อนไขที่ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันต้องต่อเนื่องแล้ว ทฤษฎีบทข้างต้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ กำหนดโดย

$f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})$ และ $f(0)=0$

มีอนุพันธ์ที่ไม่ต่อเนื่องดังนี้

$f'(x)={\begin{cases}1-2\cos({\tfrac {1}{x}})+4x\sin({\tfrac {1}{x}}),&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}$ และมีจุดที่ทำให้ $f'(x)=0$ ทุก ๆ ย่านใกล้เคียงของ 0

ที่จุดดังกล่าวเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน $f$ ดังนั้น $f$ จึงไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และหาอินเวอร์สไม่ได้ทุกช่วงที่มี $x=0$

หรืออีกนัยหนึ่ง เส้นความชัน $f'\!(0)=1$ ไม่ได้กำกับหรือบังคับจุดใกล้เคียง ซึ่งเส้นโค้งความชันที่จุดนั้น ๆ จะสั่น (oscillate) เป็นจำนวนอนันต์นับไม่ได้

วิธีการพิสูจน์

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันมีบทพิสูจน์ที่หลากหลาย บทพิสูจน์ส่วนใหญ่ใช้หลักการการส่งแบบหดตัว หรือที่รู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีบทจุดตรึงบานาค และเนื่องจากทฤษฎีบทจุดตรึงนั้นสามารถขยายนัยทั่วไปไปยังกรณีมิติเป็นอนันต์ (ในปริภูมิบานาค) ได้ ทำให้ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันขยายนัยทั่วไปไปยังมิติอนันต์ได้

บทพิสูจน์แบบหนึ่งใช้ทฤษฎีบทค่าขีดสุดสำหรับฟังก์ชันบนเซตกระชับ

อีกบทพิสูจน์หนึ่งใช้ขั้นตอนวิธีของนิวตัน ซึ่งสามารถให้ค่าประมาณขนาดย่านใกล้เคียงที่ฟังก์ชันนั้นหาอินเวอร์สได้

A proof of the inverse function theorem

The inverse function theorem states that if $f$ is a C¹ vector-valued function on an open set $U$, then $\det f^{\prime }(a)\neq 0$ if and only if there is a C¹ vector-valued function $g$ defined near $b=f(a)$ with $g(f(x))=x$ near $a$ and $f(g(y))=y$ near $b$. This was first established by Picard and Goursat using an iterative scheme: the basic idea is to prove a fixed point theorem using the contraction mapping theorem. Taking derivatives, it follows that $g^{\prime }(y)=f^{\prime }(g(y))^{-1}$.

The chain rule implies that the matrices $f^{\prime }(a)$ and $g^{\prime }(b)$ are each inverses. Continuity of $f$ and $g$ means that they are homeomorphisms that are each inverses locally. To prove existence, it can be assumed after an affine transformation that $f(0)=0$ and $f^{\prime }(0)=I$, so that $a=b=0$.

By the fundamental theorem of calculus if $u$ is a C¹ function, $u(1)-u(0)=\int _{0}^{1}u^{\prime }(t)\,dt$, so that $\|u(1)-u(0)\|\leq \sup _{0\leq t\leq 1}\|u^{\prime }(t)\|$. Setting $u(t)=f(x+t(x^{\prime }-x))-x-t(x^{\prime }-x)$, it follows that

$\|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|\,\sup _{0\leq t\leq 1}\|f^{\prime }(x+t(x^{\prime }-x))-I\|.$

Now choose $\delta >0$ so that $\|f^{\prime }(x)-I\|<{1 \over 2}$ for $\|x\|<\delta$. Suppose that $\|y\|<\delta /2$ and define $x_{n}$ inductively by $x_{0}=0$ and $x_{n+1}=x_{n}+y-f(x_{n})$. The assumptions show that if $\|x\|,\,\,\|x^{\prime }\|<\delta$ then

$\|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|/2$.

In particular $f(x)=f(x^{\prime })$ implies $x=x^{\prime }$. In the inductive scheme $\|x_{n}\|<\delta$ and $\|x_{n+1}-x_{n}\|<\delta /2^{n}$. Thus $(x_{n})$ is a Cauchy sequence tending to $x$. By construction $f(x)=y$ as required.

To check that $g=f^{-1}$ is C¹, write $g(y+k)=x+h$ so that $f(x+h)=f(x)+k$. By the inequalities above, $\|h-k\|<\|h\|/2$ so that $\|h\|/2<\|k\|<2\|h\|$. On the other hand if $A=f^{\prime }(x)$, then $\|A-I\|<1/2$. Using the geometric series for $B=I-A$, it follows that $\|A^{-1}\|<2$. But then

${\|g(y+k)-g(y)-f^{\prime }(g(y))^{-1}k\| \over \|k\|}={\|h-f^{\prime }(x)^{-1}[f(x+h)-f(x)]\| \over \|k\|}\leq 4{\|f(x+h)-f(x)-f^{\prime }(x)h\| \over \|h\|}$

tends to 0 as $k$ and $h$ tend to 0, proving that $g$ is C¹ with $g^{\prime }(y)=f^{\prime }(g(y))^{-1}$.

The proof above is presented for a finite-dimensional space, but applies equally well for Banach spaces. If an invertible function $f$ is C^k with $k>1$, then so too is its inverse. This follows by induction using the fact that the map $F(A)=A^{-1}$ on operators is C^k for any $k$ (in the finite-dimensional case this is an elementary fact because the inverse of a matrix is given as the adjugate matrix divided by its determinant). The method of proof here can be found in the books of Henri Cartan, Jean Dieudonné, Serge Lang, Roger Godement and Lars Hörmander.

การขยายนัยทั่วไปไปยังกรณีต่าง ๆ

แมนิโฟลด์

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสามารถเขียนให้อยู่ในรูปการส่งหาอนุพันธ์ได้ระหว่างแมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้ ในกรณีนี้ ทฤษฎีบทอยู่ในรูป

ให้ $F:M\to N$ เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ (ในชั้น $C^{1}$) หากดิฟเฟอเรนเชียลของ $F$

$dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N$

เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเชิงเส้นที่จุด $p$ ใน $M$ แล้วจะมีย่านใกล้เคียงเปิด $U$ ของ $p$ ที่ทำให้

$F|_{U}:U\to F(U)$

เป็นอนุพันธสัณฐาน สังเกตว่าทฤษฎีบทข้างต้นยืนยันว่าส่วนเชื่อมโยงใน $M$ และ $N$ ที่มี $p$ และ $F(p)$ เป็นสมาชิกจะมีมิติเท่ากัน นอกจากนี้ถ้าอนุพันธ์ของ $F$ เป็นฟังก์ชันสมสัณฐานทุกจุด $p$ ใน $M$ แล้วการส่ง $F$ จะเป็นอนุพันธสัณฐานเฉพาะที่ (local diffeomorphism)

ปริภูมิบานาค

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสามารถขยายไปยังการส่งหาอนุพันธ์ได้ระหว่างปริภูมิบานาค $X$ และ $Y$ ให้ $U$ เป็นย่านใกล้เคียงเปิดของจุดกำเนิดใน $X$ และ $F:U\to Y\!$ เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และสมมติให้อนุพันธ์เฟรเช $dF_{0}:X\to Y\!$ ของ $F$ ที่จุด 0 เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเชิงเส้นที่มีขอบเขต แล้วจะมีย่านใกล้เคียงเปิด $V$ ของ $F(0)\!$ ใน $Y$ และฟังก์ชัน $G:V\to X\!$ ซึ่งเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่ทำให้ $F(G(y))=y$ สำหรับทุก $y\in Y$

ยิ่งไปกว่านั้น $G(y)\!$ จะเป็นผลเฉลยเดียวที่เล็กเพียงพอสำหรับสมการ $F(x)=y\!$

แมนิโฟลด์บานาค

การวางนัยทั่วไปข้างต้นสามารถนำมารวมกันได้เป็นทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสำหรับแมนิโฟลด์บานาค

ทฤษฎีบทแรงค์คงที่

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันและทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายอาจมองได้ว่าเป็นกรณีเฉพาะหนึ่งของทฤษฎีบทแรงค์คงที่ ซึ่งกล่วว่าการส่งเรียบที่มีแรงค์คงตัวใกล้จุด ๆ หนึ่งจะสามารถเขียนในรูปแบบปรกติใกล้จุด ๆ นั้นได้ หรืออีกนัยหนึ่ง หาก $F:M\to N$ มีแรงค์คงตัวใกล้กับจุด $p\in M\!$ แล้วจะมีช่วงเปิด $U$ ของ $p$ และ $V$ ของ $F(p)$ และอนุพันธสัณฐาน $u:T_{p}M\to U\!$ และ $v:T_{F(p)}N\to V\!$ ที่ทำให้ $F(U)\subseteq V\!$ และอนุพันธ์ $dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N\!$ มีค่าเท่ากับ $v^{-1}\circ F\circ u\!$ ซึ่งก็คือ $F$ ประพฤติตัวเหมือนเป็นอนุพันธ์ของมันเองใกล้ ๆ $p$ ความเป็น semicontinuous ของฟังก์ชันแรงค์ส่งผลให้มีเซตปิดหนาแน่นบนโดเมนของ $F$ ที่อนุพันธ์ดังกล่าวมีแรงค์คงตัว จึงทำให้ทฤษฎีบทแรงค์คงที่ใช้ได้กับจุดใด ๆ บนโดเมน

เมื่ออนุพันธ์ของ $F$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (อ่าน: ทั่วถึง) ที่จุด $p$ แล้วจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (อ่าน: ทั่วถึง) บนย่านใกล้เคียงบางย่านของ $p$ ด้วย ดังนั้นแรงค์ของ $F$ จะคงตัวบนย่านนั้น จึงสามารถใช้ทฤษฎีบทแรงค์คงตัวได้

ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก

ถ้าฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก $F$ นิยามบนเซตเปิดของ $\mathbb {C} ^{n}$ ไปยัง $\mathbb {C} ^{n}$ และเมทริกซ์จาโคเบียนของอนุพันธ์เชิงซ้อนหาอินเวอร์สได้ที่จุด $p$ แล้ว $F$ จะเป็นฟังก์ชันหาอินเวอร์สได้ในบางบริเวณรอบ ๆ จุด $p$ ทฤษฎีบทนี้เป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชันค่าจริง และสามารถฟิสูจน์ได้ว่าอินเวอร์สของฟังก์ชันต้องเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก

ฟังก์ชันพหนุาม

ถ้าข้อความคาดการณ์จาโคเบียนเป็นจริง ข้อความคาดการณ์ดังกล่าวจะเป็นตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน ข้อความดังกล่าวกล่าวว่า ถ้าฟังก์ชันพหุนามค่าเวกเตอร์มีดีเทอร์มิแนนท์จาโคเบียนเป็นพหุนามที่หาอินเวอร์สได้ (ซึ่งก็คือเป็นพหนุามคงตัวที่ไม่เป็นพหุนามศูนย์๗ แล้วฟังก์ชันนั้นจะมีอินเวอร์สที่เป็นฟังก์ชันพหนุามด้วย ปัจจุบันยังไม่ทราบว่าข้อความคาดการณ์ดังกล่าวเป็นจริงหรือเท็จแม้แต่ในกรณีที่มีตัวแปรสองตัว จึงเป็นปัญหาเปิดสำคัญในทฤษฎีของพหุนา

ดูเพิ่ม

• Banach fixed-point theorem
• Implicit function theorem
• Nash–Moser theorem

อ่านเพิ่ม

• Allendoerfer, Carl B. (1974). "Theorems about Differentiable Functions". Calculus of Several Variables and Differentiable Manifolds. New York: Macmillan. pp. 54–88. ISBN 0-02-301840-2.
• Baxandall, Peter; Liebeck, Hans (1986). "The Inverse Function Theorem". Vector Calculus. New York: Oxford University Press. pp. 214–225. ISBN 0-19-859652-9.
• Nijenhuis, Albert (1974). "Strong derivatives and inverse mappings". Amer. Math. Monthly. 81 (9): 969–980. doi:10.2307/2319298. hdl:10338.dmlcz/102482.
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1985). "Transformations and Jacobians". Intermediate Calculus (Second ed.). New York: Springer. pp. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.
• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). An Introduction to Partial Differential Equations. Texts in Applied Mathematics 13 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 337–338. ISBN 0-387-00444-0.
• Rudin, Walter (1976). Principles of mathematical analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics (Third ed.). New York: McGraw-Hill Book. pp. 221–223.