ทฤษฎีบทของสจวร์ต

ทฤษฎีบทของสจวร์ต (Stewart's theorem) เป็นทฤษฎีบททางเรขาคณิตที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านข้างกับความยาวของ "ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดกับจุดที่อยู่บนด้านตรงข้าม (Cevian)" ในรูปสามเหลี่ยม ชื่อของทฤษฎีบทนี้เป็นการให้เกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อต แมทธิว สจวร์ต (Matthew Stewart) ผู้เผยแพร่ทฤษฎีบทนี้ในปี ค.ศ. 1746

รายละเอียด

กำหนดให้ a, b และ c เป็นความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ให้ d เป็นความยาวของ cevian ไปทางด้านความยาว a หาก cevian แบ่งด้านความยาว a ออกเป็นสองส่วนของความยาว คือ m และ n โดยมี m ติดกับ c และ n ติดกับ b แล้วทฤษฎีบทของสจ๊วต ระบุว่า

${\displaystyle b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn)}$

ทฤษฎีบทนี้อาจเขียนขึ้นแบบสมมาตรโดยใช้ความยาวของส่วนที่แบ่งแล้ว นั่นคือใช้ความยาว AB ให้เป็นบวกหรือลบ ตามแต่ว่า A อยู่ทางซ้ายหรือขวาของ B ในการวางแนวที่แน่นอนของเส้น ในสูตรนี้ทฤษฎีบทกล่าวว่าถ้า A, B และ C เป็นจุดร่วมเส้นตรง (collinear points) และ P เป็นจุดใด ๆ แล้ว

${\displaystyle PA^{2}\cdot BC+PB^{2}\cdot CA+PC^{2}\cdot AB+AB\cdot BC\cdot CA=0.}$

ในกรณีพิเศษที่ cevian เป็นเส้นมัธยฐาน (Cevian แบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นสองส่วนที่มีความยาวเท่ากัน) สามารถหาผลลัพธ์ได้จากทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียส

พิสูจน์

แผนผังของทฤษฎีบทของสจ๊วต

ทฤษฎีบทนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยการประยุกต์ใช้กฎของโคไซน์ (cos)

ให้ θ เป็นมุมระหว่าง m และ d และ θ′ คือมุมระหว่าง n และ d โดย θ′ + θ = 180 องศา และดังนั้น cos θ′ = − cos θ โดยใช้กฎของโคไซน์ในสามเหลี่ยมเล็กสองรูปที่มีมุม θ และ θ′ ประกอบอยู่

${\begin{aligned}c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\b^{2}&=n^{2}+d^{2}-2dn\cos \theta '\\&=n^{2}+d^{2}+2dn\cos \theta \,\end{aligned}}$

คูณสมการแรกด้วย n และสมการที่สามด้วย m และนำมารวมกันเพื่อกำจัด cos θ จะได้

${\begin{aligned}&b^{2}m+c^{2}n\\&=nm^{2}+n^{2}m+(m+n)d^{2}\\&=(m+n)(mn+d^{2})\\&=a(mn+d^{2})\\\end{aligned}}$

อีกวิธีหนึ่งทฤษฎีบทสามารถพิสูจน์ได้คือการวาดเส้นตั้งฉากจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมไปยังฐานและใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อหาความยาว b, c และ d ในแง่ของระดับความสูง ด้านซ้ายและขวาของสมการนั้นจะเป็นนิพจน์เดียวกัน

ประวัติ

จากตำราคณิตศาสตร์ของฮุตตันและเกรกอรี (Hutton & Gregory, 1843, หน้า 220) สจวร์ตเผยแพร่ผลเฉลยในปี ค.ศ. 1746 เมื่อเขาเป็นหนึ่งในผู้ที่มีสิทธิ์จะเข้ารับตำแหน่งเป็นศาสตราจารย์คณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยเอดินบะระแทนที่คอลิน แม็กคลอริน (Colin Maclaurin) และตำราคณิตศาสตร์ของ ค็อกเซเตอร์และไกรต์เซอร์ (Coxeter & Greitzer, 1967, หน้า 6) ระบุว่าผลลัพธ์อาจเป็นที่ทราบโดยอาร์คิมีดีส เมื่อประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช ฮุตตันและเกรกอรี (1843) กล่าวว่าผลเฉลยถูกใช้โดยโรเบิร์ต ซิมสัน (Robert Simson) ในปี ค.ศ. 1748 และโดยโทมัส ซิมป์สัน (Thomas Simpson) ในปี ค.ศ. 1752 และการปรากฏครั้งแรกในยุโรปเกิดขึ้นในงานของลาซาร์ การ์โน (Lazare Carnot) ในปี ค.ศ. 1803

ดูเพิ่ม

• Mass point geometry

บรรณานุกรม

• Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited, New Mathematical Library #19, The Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-619-0
• Hutton, C.; Gregory, O. (1843), A Course of Mathematics, vol. II, Longman, Orme & Co.
• Russell, John Wellesley (1905), "Chapter 1 §3: Stewart's Theorem", Pure Geometry, Clarendon Press, OCLC 5259132

ดูเพิ่ม

• I.S Amarasinghe, Solutions to the Problem 43.3: Stewart's Theorem (A New Proof for the Stewart's Theorem using Ptolemy's Theorem), Mathematical Spectrum, Vol 43(03), pp. 138 – 139, 2011.
• Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometry by Its History, Springer, p. 112, ISBN 978-3-642-29162-3

แหล่งข้อมูลอื่น

• Weisstein, Eric W., "Stewart's Theorem", MathWorld.
• Stewart's Theorem ที่ PlanetMath.org.