จำนวนกราแฮม

จำนวนกราแฮม (อังกฤษ: Graham's number) ตั้งชื่อตามชื่อของ โรนัลด์ กราแฮม เป็นจำนวนที่ได้รับการรับรองจากกินเนสส์บุ๊คว่าเป็นจำนวนที่มีค่ามากที่สุดเท่าที่เคยใช้ในบทพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

นิยามของจำนวนกราแฮมแก้ไข

จำนวนกราแฮม สามารถนิยามโดยใช้สัญลักษณ์ลูกศรของคนูธได้ว่า

 

โดยที่ลูกศรของแต่ละชั้น (layer) มีจำนวนเท่ากับค่าของชั้นที่อยู่ถัดลงมา เมื่อเริ่มต้นจากชั้นบนสุด (ชั้นที่ 64) สามารถอธิบายเป็นสูตรทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้

 

ปัญหาของกราแฮมแก้ไข

จำนวนกราแฮมมีที่มาจากปัญหาของกราแฮมดังนี้

พิจารณาลูกบาศก์ n มิติ เชื่อมจุดยอดทุกคู่ให้เกิดกราฟสมบูรณ์ที่มีจุดยอด   จุด จากนั้นระบายสีเส้นเชื่อมทุกเส้นด้วยสี 2 สี ค่าของ n ที่น้อยที่สุดเป็นเท่าไรที่จะต้องเกิดกราฟสมบูรณ์ที่มีจุดยอด 4 จุดซึ่งอยู่บนระนาบเดียวกันและทุกเส้นเชื่อมมีสีเดียวกัน

อย่างไรก็ตาม ยังไม่มีใครค้นพบคำตอบของปัญหาข้อนี้ ในปี 1971 กราแฮมกับรอธส์ไชลด์ ได้พิสูจน์ว่าคำตอบของปัญหา N* จะต้องเป็นไปตาม 6 ≤ N*N เมื่อ N เป็นจำนวนค่ามากที่เท่ากับ  เมื่อ  ตามสัญกรณ์ลูกศรของคนูธ หากใช้สัญกรณ์ลูกศรขวาของคอนเวย์ N มีค่าระหว่าง 4 → 2 → 8 → 2 กับ 2 → 3 → 9 → 2 ต่อมาในปี 2014 ขอบเขตบนถูกลดลงเหลือ  ส่วนขอบเขตล่างเพิ่มเป็น 11 ในปี 2003 และ 13 ในปี 2008

สำหรับจำนวนกราแฮม G เป็นขอบเขตบนที่มีค่ามากยิ่งกว่า N ถูกค้นพบโดยกราแฮม และต่อมาได้ตีพิมพ์โดยมาร์ติน การ์ดเนอร์ ใน Scientific American ทำให้เป็นที่รู้จักมากกว่า