ขั้นตอนวิธีโฟรเบนีอุส

ขั้นตอนวิธีโฟรเบนิอุส (อังกฤษ: Frobenius algorithm) เป็นวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่อยู่ในรูปแบบ

$z^{2}u''+p(z)zu'+q(z)u=0\!\;$

หรือที่เราเรียกกันว่ารูปแบบที่ทำให้เกิดจุดเอกฐานปกติ(Regular Singular Point) ซึ่งรูปแบบที่หารสมการด้วย $z^{2}$ตลอดแล้วจะได้

$u''+{p(z) \over z}u'+{q(z) \over z^{2}}u=0$

รูปแบบนี้จะไม่มีผลเฉลยเป็นอนุกรมกำลังทั่วไป

วิธีการ

รูปแบบของผลเฉลยจะพบว่ามี $x^{r}$ค่าหนึ่งคูณเข้าไปในอนุกรมกำลังทำให้ $A_{0}$ไม่ได้เป็นสัมประสิทธิ์ของ $x^{0}$ รูปแบบอนุกรมเป็นดังนี้

$u(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}$

เมื่อหาอนุพันธ์ของอนุกรมทั้งอันดับหนึ่งและอันดับสองจะได้

$u'(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}$

$u''(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}$

เมื่อแทนค่าแล้วจะได้

$z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+zp(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}$

$=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}$

$=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)A_{k}z^{k+r}$

$=\sum _{k=0}^{\infty }((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_{k}z^{k+r}$

$=(r(r-1)+p(0)r+q(0))A_{0}z^{r}+\sum _{k=1}^{\infty }((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_{k}z^{k+r}$

เมื่อจัดพจน์แล้วเราพบว่าทั้งอนุกรมนี้จะให้คำตอบเท่ากับศูนย์ทุกๆค่า $x$ ดังนั้นสัมประสิทธิ์แต่ละตัวของ $x^{n}$ จะต้องเป็นศูนย์ด้วย สำหรับส่วนที่เกินขึ้นมานอก $\sum$ เป็นส่วนที่ใช้หาค่า r โดยเฉพาะ โดยการแทนค่าเพื่อหาค่า r ที่ทำให้สัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นศูนย์โดยที่ $A_{0}$ ไม่เท่ากับศูนย์ ส่วนใน$\sum$ จะได้ความสัมพันธ์เวียนเกิดซึ่งใช้หา $A_{n}$ ต่อไป