เมเชอร์ภายนอก
เมเชอร์ภายนอก (อังกฤษ: outer measure) เป็นฟังก์ชันที่สำคัญในทฤษฎีเมเชอร์ พัฒนาโดยการาเตโอโดรี ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก. การนิยามฟังก์ชันเมเชอร์ทางคณิตศาสตร์ในแรกเริ่มมีจุดประสงค์ดังนี้
- ฟังก์ชันเมเชอร์ สามารถนำไปวัดได้บนทุก สับเซตใน เส้นจำนวนจริง
- เมเชอร์ความยาวบนช่วงเปิด หรือปิด ควรจะมีค่าไม่ขัด ความยาวที่ใช้กันมานานแล้ว กล่าวคือ ความยาวของ [a,b] และ (a,b) เท่ากับ b-a.
- ฟังก์ชันเมเชอร์ ควรมีคุณสมบัติ ไม่แปรผันต่อการเลื่อนไถล (translational invariance). ยกตัวอย่างเช่น ความยาวของช่วง [a,b] คือ b-a ถ้าเราเลื่อนช่วงนี้ออกไปเท่ากับ c เป็น [a+c,b+c] ความยาวก็ควรจะเป็น b-a เท่าเดิม.
- ฟังก์ชันเมเชอร์ ควรจะมีคุณสมบัติ สภาพการบวกเชิงนับได้ (countably additivity)
อย่างไรก็ตามสามารถพิสูจน์ได้ว่า ไม่มีฟังก์ชันใด ที่จะมีคุณสมบัติครบทั้ง 4 ข้อดังกล่าวได้ จึงจำเป็นต้องผ่อนปรนบางเงื่อนไขออกไป (ดู วิตาลีเซต และ ปริทัศน์ของบานาค-ทาร์สกี). ฟังก์ชันเมเชอร์ที่เป็นมาตรฐานในปัจจุบันเกิดจากการผ่อนปรนเงื่อนไขในข้อที่หนึ่ง. อย่างไรก็ตามการสร้าง ฟังก์ชันเมเชอร์ มักสร้างจาก เมเชอร์ภายนอก ซึ่งเกิดจากการผ่อนปรนเงื่อนไขในข้อที่ 4 และนำไปต่อยอดกลายเป็น ฟังก์ชันเมเชอร์ตามที่ต้องการ. โดยการต่อยอดสามารถทำได้เสมอ ซึ่งพิสูจน์ได้จากทฤษฎีบทของการาเตโอโดรี.
นิยามทางคณิตศาสตร์
แก้เมเชอร์ภายนอกบนเซต เป็นฟังก์ชันที่นิยามโดย และมีคุณสมบัติ 3 ขัอดังต่อไปนี้.
1. เซตว่างมีเมเชอร์ภายนอกเท่ากับ 0.
2. Monotonicity
3. มีคุณสมบัติ กึ่งสภาพการบวกเชิงนับได้ (sub-countable additivity) : กำหนดลำดับ {Aj} โดยทุก ๆ Aj เป็นสับเซตของ X (หมายเหตุ: ไม่มีเงื่อนไขของ การไม่มีส่วนร่วมแบบเป็นคู่ ๆ แต่อย่างใด)
อ้างอิง
แก้- P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
- M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953