เมทริกซ์หนึ่ง

ในทางคณิตศาสตร์ เมทริกซ์หนึ่ง (อังกฤษ: matrix of ones) หมายถึงเมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นหนึ่ง ดังตัวอย่าง

$J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}$

ในบางบริบท เมทริกซ์หนึ่งอาจเรียกแทนด้วย เมทริกซ์หน่วย ซึ่งเป็นอีกชื่อหนึ่งของเมทริกซ์เอกลักษณ์

คุณสมบัติ

กำหนดให้ U เป็นเมทริกซ์หนึ่งขนาด n×n เมทริกซ์ U จะมีคุณสมบัติต่อไปนี้

• รอยเมทริกซ์ (trace) ของ U เท่ากับ n และดีเทอร์มิแนนต์ของ U เท่ากับ 0
• ค่าลำดับชั้น (rank) ของ U เท่ากับ 1 และค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) จะเท่ากับ n หนึ่งตัว และเท่ากับ 1 อีก n−1 ตัว
• $U^{k}=n^{k-1}U$ เมื่อ k = 1, 2, 3, ...
• เมทริกซ์ 1/n U เป็นนิจพล (idempotent)
• $\operatorname {exp} (U)=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}U$ เมื่อ exp (U) หมายถึง เมทริกซ์เลขชี้กำลัง (matrix exponential)
• การคูณเมทริกซ์ U ด้วยผลคูณอาดามาร์ (Hadamard product) เป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์