เมทริกซ์สมมาตร

ในทางพีชคณิตเชิงเส้น เมทริกซ์สมมาตร คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ตัวเอง นั่นคือ

$A^{\mathrm {T} }=A\,$

ความสมมาตรในสมาชิกของเมทริกซ์สมมาตร สามารถสังเกตได้จากเส้นทแยงมุม (จากซ้ายบนไปยังขวาล่าง) ซึ่งสมาชิกทุกตัวที่อยู่เหนือและใต้เส้นทแยงมุม จะมีค่าเท่ากันเหมือนการสะท้อนในกระจกเงา ดังนั้นเราสามารถนิยามเมทริกซ์สมมาตรได้อีกอย่างหนึ่งว่า

$a_{ij}=a_{ji}\,$

สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j

ตัวอย่างต่อไปนี้คือเมทริกซ์สมมาตร ในมิติ 3×3

${\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}$

อนึ่ง เมทริกซ์เอกลักษณ์และเมทริกซ์ทแยงมุม ก็เป็นเมทริกซ์สมมาตรชนิดหนึ่ง เนื่องจากสมาชิกตัวอื่นนอกจากบนเส้นทแยงมุมเป็นศูนย์ เมื่อสลับเปลี่ยนแล้วทำให้ค่าไม่เปลี่ยนแปลง

คุณสมบัติ

ทุกๆเมทริกซ์จัตุรัสจำนวนจริง X สามารถเขียนอยู่ในรูปผลบวกของเมทริกซ์สมมาตรและเมทริกซ์สมมาตรเสมือน ดังนี้:

$X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\mathrm {T} }\right)+{\frac {1}{2}}\left(X-X^{\mathrm {T} }\right)$

ดูเพิ่ม

• เมทริกซ์สมมาตรเสมือน หรือ เมทริกซ์ปฏิสมมาตร