เปิดเมนูหลัก

เมทริกซ์ (คณิตศาสตร์)

สำหรับความหมายอื่น ดูที่ เมทริกซ์

ในคณิตศาสตร์ เมทริกซ์ หรือ เมตริกซ์ (อังกฤษ: matrix) คือตารางสี่เหลี่ยมที่แต่ละช่องบรรจุจำนวนหรือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สามารถนำมาบวกและคูณกับตัวเลขได้

เราสามารถใช้เมทริกซ์แทนระบบสมการเชิงเส้น การแปลงเชิงเส้น และใช้เก็บข้อมูลที่ขึ้นกับตัวแปรต้นสองตัว เราสามารถบวก คูณ และแยกเมทริกซ์ออกเป็นผลคูณของเมทริกซ์ได้หลายรูปแบบ เมทริกซ์เป็นแนวความคิดที่มีความสำคัญยิ่งของพีชคณิตเชิงเส้น โดยทฤษฎีเมทริกซ์เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นที่เน้นการศึกษาเมทริกซ์

ในบทความนี้ แต่ละช่องของเมทริกซ์จะบรรจุจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน หากไม่ได้ระบุเป็นอย่างอื่น

นิยามแก้ไข

เมทริกซ์ คือกลุ่มของจำนวนหรือสมาชิกของริงใดๆ เขียนเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัส กล่าวคือเรียงเป็นแถวในแนวนอน และเรียงเป็นแถวในแนวตั้ง เรามักเขียนเมทริกซ์เป็นตารางที่ไม่มีเส้นแบ่งและเขียนวงเล็บคร่อมตารางไว้ (ไม่ว่าจะเป็นวงเล็บโค้งหรือวงเล็บเหลี่ยม) เช่น

 

เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า แถว เรียกแถวในแนวตั้งของเมทริกซ์ว่า หลัก และเรียกจำนวนแต่ละจำนวนเในเมทริกซ์ว่า สมาชิก ของเมทริกซ์ การกล่าวถึงสมาชิกของเมทริกซ์ จะต้องระบุตำแหน่งให้ถูกต้อง เช่น จากตัวอย่างข้างบน

สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3 คือเลข 4
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 2 คือเลข 15
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 3 หลักที่ 1 คือเลข 5

เราเรียกเมทริกซ์ที่มี   แถว และ   หลัก เรียกว่า เมทริกซ์   เราเรียกจำนวน   และ   ว่า มิติ หรือ ขนาด ของเมทริกซ์

เราใช้สัญญลักษณ์   เพื่อหมายถึง เมทริกซ์   ซึ่งมี   แถว และ   หลัก โดยที่   (หรือ  ) หมายถึง สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่ง แถว   และ หลัก   ของเมทริกซ์

 

การกระทำระหว่างเมทริกซ์แก้ไข

การบวกแก้ไข

ดูบทความหลักที่: การบวกเมทริกซ์

ให้   และ   เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันสองเมทริกซ์ เราสามารถนิยาม ผลรวม หรือ ผลบวก   ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด   ที่คำนวณโดยการบวกสมาชิกที่มีตำแหน่งตรงกัน กล่าวคือ หาก   แล้ว   ยกตัวอย่างเช่น

 

การบวกเมทริกซ์อีกแบบหนึ่งที่เป็นที่นิยมน้อยกว่าคือการบวกตรง

การคูณด้วยสเกลาร์แก้ไข

กำหนดเมทริกซ์   และจำนวน   เราสามารถนิยาม ผลคูณสเกลาร์   ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด   ที่คำนวณโดยการนำ   ไปคูณสมาชิกแต่ละตัวของ   กล่าวคือ หาก   แล้ว   ยกตัวอย่างเช่น

 

จะเห็นว่า ปฏิบัติการทั้งสองข้างต้น (การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์) ช่วยให้เราสามารถมองเมทริกซ์ขนาด   ว่าเป็นเวกเตอร์ที่มีมิติ   ด้วยเหตุนี้ เซตของเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากับจึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ชนิดหนึ่ง

การคูณแก้ไข

ถ้า   และ   เป็นเมทริกซ์สองเมทริกซ์โดยที่จำนวนหลักของ   เท่ากับจำนวนแถวของ   แล้ว เราสามารถนิยาม ผลคูณ   ว่าเป็นเมทริกซ์   โดยที่

 

กล่าวคือสมาชิกในแถว   หลัก   ของผลคูณ   คำนวณได้จากการนำสมาชิกของหลัก   ของ   และสมาชิกของคอลัมน์   ในตำแหน่ง "เดียวกัน" มาคูณกัน แล้วนำผลคูณทั้ง   ผลคูณนั้นมาบวกกัน

การคูณนี้อาจทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นถ้ามองเมทริกซ์เป็นjเวกเตอร์ของเวกเตอร์ โดยถ้าเราให้   เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในแถว   ของ   และให้   เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในหลัก   ของ   แล้ว เราจะได้ว่า   เมื่อ   คือผลคูณจุดของ   และ   เช่น

ให้   และ  
แล้ว  

และ

 

การคูณเมทริกซ์มีสมบัติต่อไปนี้

  • สมบัติการเปลี่ยนหมู่:   สำหรับเมทริกซ์   ขนาด  ,   ขนาด  , และ   ขนาด   ใดๆ ("สมบัติการเปลี่ยนหมู่")
  • สมบัติการแจกแจงทางขวา:   สำหรับเมทริกซ์   และ   ขนาด   และ   ขนาด   ใดๆ
  • สมบัติการแจกแจงทางซ้าย:   สำหรับเมทริกซ์   และ   ขนาด   และ   ขนาด   ใดๆ

คำเตือน: การคูณเมทริกซ์นั้นไม่เหมือนกับการคูณจำนวนโดยทั่วไป เนื่องจากไม่มีสมบัติสลับที่ กล่าวคือ สำหรับเมทริกซ์   ขนาด   และ   ขนาด   ใดๆ

  • ถ้า   แล้ว ผลคูณ   ไม่มีนิยาม
  • แม้   แต่ถ้า   แล้ว   เป็นเมทริกซ์ขนาด   ส่วน   เป็นเมทริกซ์ขนาด   ผลคูณทั้งสองจึงมีค่าไม่เท่ากันอย่างเห็นได้ชัด
  • แม้   แต่ส่วนมากแล้ว   มักจะมีค่าไม่เท่ากับ   ยกตัวอย่างเช่น
 

เรากล่าวว่าเมทริกซ์   แอนติคอมมิวต์ (anticommute) กับเมทริกซ์   ถ้า   เมทริกซ์ที่แอนติคอมมิวต์ซึ่งกันและกันมีความสำคัญมากในการเป็นตัวแทนของพีชคณิตลีและพีชคณิตคลิฟฟอร์ด

ข้อสังเกต i = แถว หรือ row และ j = แถวตั้ง หรือ column

การสลับเปลี่ยนแก้ไข

ดูบทความหลักที่: เมทริกซ์สลับเปลี่ยน

เมทริกซ์สลับเปลี่ยนคือเมทริกซ์ที่ได้จากการสลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลักเป็นแถว ของเมทริกซ์ต้นแบบ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของของเมทริกซ์ A ขนาด m × n คือ AT ขนาด n × m ( หรือเขียนอยู่ในรูปแบบ Atr, หรือ tA, หรือ A' ) ซึ่ง AT[ i, j ] = A[ j, i ] ยกตัวอย่างเช่น

 

เมทริกซ์จัตุรัสแก้ไข

เมทริกซ์จัตุรัส คือเมทริกซ์ที่มีขนาดแถวและหลักเท่ากัน โดยเขียนอยู่ในรูปเมทริกซ์ขนาด n × n ยกเว้น n = 1

เมทริกซ์ที่มีลักษณะพิเศษแก้ไข

  • เมทริกซ์เอกลักษณ์ หรือ เมทริกซ์หน่วย In ขนาด n คือเมทริกซ์ขนาด n × n ที่มีตัวเลขบนเส้นทแยงมุมเป็น 1 ซึ่งสมมติให้เส้นทแยงมุมนั้นลากจากสมาชิกบนซ้ายไปยังสมาชิกขวาล่าง (เฉียงลง) ส่วนสมาชิกที่เหลือเป็น 0 ทั้งหมด มีคุณสมบัติ MIn = M และ InN =  N สำหรับทุกๆเมทริกซ์ M ขนาด m × n และเมทริกซ์ N ขนาด n × k เช่นเมื่อ n = 3:
 
  • เมทริกซ์สมมาตร คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ตัวเอง นั่นก็คือ   หรือ   สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j
  • เมทริกซ์สมมาตรเสมือน คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวมีเครื่องหมายตรงข้ามจากเดิม นั่นคือ  หรือ  สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j
  • เมทริกซ์เอร์มีเชียนคือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน และเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของเมทริกซ์นั้นเท่ากับตัวเดิม นั่นหมายความว่าสมาชิกในแถวที่ i หลักที่ j กับสมาชิกในแถวที่ j หลักที่ i จะต้องเป็นสังยุคซึ่งกันและกัน ดังนี้   หรือเขียนแทนด้วยการสลับเปลี่ยนสังยุคของเมทริกซ์ จะได้ว่า  
  • เมทริกซ์โทพลิทซ์ คือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกัน และแนวขนานเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกันในแต่ละแนว นั่นคือ  

อ้างอิงแก้ไข