อนุพันธ์อันดับสอง

ในแคลคูลัส อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน f คืออนุพันธ์ของอนุพันธ์ของ f อนุพันธ์อันดับสองสามารถกล่าวในลักษณะไม่เป็นทางการได้ว่าเป็น "อัตราการเปลี่ยนแปลงของอัตราการเปลี่ยนแปลง" ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่งของวัตถุเทียบกับเวลาคือความเร่งขณะหนึ่งของวัตถุ หรืออัตราที่ความเร็วของวัตถุเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา

อนุพันธ์อันดับสองของ ฟังก์ชันกำลังสองมีค่าคงที่

ในสัญกรณ์ไลบ์นิซ$$a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$$โดยที่ a คือความเร่ง, v คือความเร็ว, t คือเวลา, x คือตำแหน่ง และ d คือ "เดลตา" หรือการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง นิพจน์สุดท้าย ${\tfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}$ คืออนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่ง (x) เทียบกับเวลา

บนกราฟของฟังก์ชัน อนุพันธ์อันดับสองสอดคล้องกับความโค้ง หรือความเว้าของกราฟ กราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะเว้าบนในขณะที่กราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะโค้งในทิศตรงกันข้าม

กฎยกกำลังอนุพันธ์อันดับสอง

กฎยกกำลังสำหรับอนุพันธ์อันดับหนึ่ง หากกระทำสองครั้งจะสามารถสร้างกฎยกกำลังอนุพันธ์อันดับสองได้ดังนี้$${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}x^{n}={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left(nx^{n-1}\right)=n{\frac {d}{dx}}x^{n-1}=n(n-1)x^{n-2}$$

สัญกรณ์

อนุพันธ์อันดับสองของ $f(x)$ โดยมากจะเขียนเป็น $f''(x)$ ซึ่งคือ $$f''=\left(f'\right)'$$

เมื่อใช้สัญกรณ์ของไลบ์นิซสำหรับอนุพันธ์ อนุพันธ์อันดับสองของตัวแปรตาม y เทียบตัวแปรอิสระ x จะเขียนได้ว่า$${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$$ที่มาของสัญกรณ์นี้คือ$${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)$$

ตัวอย่าง

เมื่อพิจารณาฟังก์ชัน$$f(x)=x^{3}$$อนุพันธ์ของ f คือฟังก์ชัน$$f'(x)=3x^{2}$$อนุพันธ์อันดับสองของ f คืออนุพันธ์ของ $f'$ กล่าวคือ$$f''(x)=6x$$

ความสัมพันธ์กับกราฟ

กราฟของ $f(x)=\sin(2x)$ จาก $-\pi /4$ ถึง $5\pi /4$ - เส้นสัมผัสเป็นสีน้ำเงินตรงที่เส้นโค้งเว้าขึ้น สีเขียวตรงที่เส้นโค้งเว้าลง และเป็นสีแดงที่จุดเปลี่ยนเว้า (0, $\pi$ /2, และ $\pi$)

ความเว้า

อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน f สามารถใช้เพื่อกำหนด ความเว้า ของกราฟของ f ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นบวกเรียก เว้าบน (หรือ นูน) ซึ่งมีความหมายว่าใกล้จุดที่สัมผัสกับฟังก์ชัน เส้นสัมผัสจะอยู่ใต้กราฟของฟังก์ชัน ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะเรียกว่า เว้าล่าง (หรือ เว้า) และเส้นสัมผัสใกล้กับจุดที่สัมผัสจะอยู่เหนือกราฟของฟังก์ชัน

จุดเปลี่ยนเว้า

ถ้าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย กราฟของฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากเว้าล่างไปเป็นเว้าบนหรือกลับกัน จุดที่ทำให้เครื่องหมายเปลี่ยนนี้เรียกว่า จุดเปลี่ยนเว้า (inflection point) หากอนุพันธ์อันดับสองเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้วอนุพันธ์อันดับสองต้องมีค่าเป็นศูนย์ที่จุดเปลี่ยนเว้าใด ๆ แม้ว่าไม่ใช่ทุกจุดที่อนุพันธ์อันดับสองเป็นศูนย์จะต้องเป็นจุดเปลี่ยนเว้าก็ตาม

การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง

ความสัมพันธ์ระหว่างอนุพันธ์อันดับสองกับกราฟสามารถใช้เพื่อทดสอบว่าจุดนิ่งของฟังก์ชัน (คือ จุดที่ $f'(x)=0$ ) ว่าใช่ค่าสูงสุดเฉพาะที่หรือค่าต่ำสุดเฉพาะที่ไหม

• ถ้า $f''(x)<0$, แล้ว $f$ มีค่าสูงสุดเฉพาะที่ที่ $x$
• ถ้า $f''(x)>0$, แล้ว $f$ มีค่าต่ำสุดเฉพาะที่ที่ $x$
• ถ้า $f''(x)=0$ การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองใช้ไม่ได้กับจุด $x$ นี้ อาจเป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้

เหตุผลที่อนุพันธ์อันดับสองให้ผลลัพธ์เหล่านี้สามารถเห็นได้จากการเปรียบเทียบในชีวิตจริง พิจารณารถคันหนึ่งวิ่งไปข้างหน้าด้วยความเร็วสูงในตอนแรกแต่มีความเร่งเป็นลบ เห็นได้ชัดว่าตำแหน่งของรถ ณ จุดที่ความเร็วถึงศูนย์จะมีระยะทางเป็นค่าสูงสุดจากตำแหน่งเริ่มต้น หลังจากเวลานี้ ความเร็วจะกลายเป็นลบและรถจะถอยหลัง การเปรียบเทียบนี้ใช้ได้เช่นเดียวกับค่าต่ำสุด โดยทำให้รถในตอนแรกมีความเร็วเป็นลบมากแต่มีความเร่งเป็นบวกตรงกันข้ามกับกรณีของค่าสูงสุด

ลิมิต

สามารถเขียนลิมิตเพียงลิมิตเดียวแทนอนุพันธ์อันดับสองได้ดังนี้$$f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}$$ลิมิตนี้เรียกว่าอนุพันธ์สมมาตรอันดับสอง อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองอาจหาค่าได้ แม้ว่าอนุพันธ์อันดับสองโดยนิยามปกติจะหาไม่ได้ก็ตาม

นิพจน์ทางขวาสามารถเขียนเป็นผลหารเชิงผลต่างของผลหารเชิงผลต่างได้ดังนี้$${\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\dfrac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}$$ลิมิตนี้สามารถมองได้เป็นรูปแบบที่ต่อเนื่องของผลต่างอันดับสองของลำดับ

อย่างไรก็ตาม การที่ลิมิตข้างต้นหาค่าได้ไม่ได้หมายว่าฟังก์ชัน $f$ นั้นมีอนุพันธ์อันดับสอง ลิมิตข้างต้นให้ความเป็นไปได้ในการคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง แต่ไม่ใช่นิยาม ตัวอย่างค้าน เช่น ฟังก์ชันเครื่องหมาย $\operatorname {sgn}(x)$ ซึ่งนิยามว่า$$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0\end{cases}}$$ฟังก์ชันเครื่องหมายไม่ต่อเนื่องที่ศูนย์ ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสองที่ $x=0$ หาค่าไม่ได้ แต่ลิมิตข้างต้นหาค่าได้ที่ $x=0$$${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0\end{aligned}}$$

การประมาณกำลังสอง

เช่นเดียวกับอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการประมาณเส้นตรง อนุพันธ์อันดับสองก็เกี่ยวข้องกับการประมาณกำลังสองที่ดีที่สุดของฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันกำลังสองซึ่งมีอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองที่เหมือนกับของ f ที่จุดหนึ่ง ๆ สูตรของการประมาณกำลังสองที่ดีที่สุดของ f รอบ ๆ จุด x = a คือ$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}$$การประมาณกำลังสองคือพหุนามเทย์เลอร์อันดับที่สองสำหรับฟังก์ชันที่มีจุดศูนย์กลางที่ x = a

ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง

เงื่อนไขขอบจำนวนมากสามารถหาสูตรสำหรับค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสองออกมาได้โดยชัดแจ้ง สมมติให้ $x\in [0,L]$ และเงื่อนไขขอบดิริชเลต์เอกพันธ์ุ (เช่น $v(0)=v(L)=0$ โดยที่ v เป็นเวกเตอร์เฉพาะ) ค่าเฉพาะเป็น $\lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}$ และเวกเตอร์เฉพาะที่สอดคล้องกัน (เรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันเฉพาะ ) คือ $v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)$ จะได้ $v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x)$ เมื่อ $j=1,\ldots ,\infty$

สำหรับกรณีอื่น ๆ ที่เป็นที่รู้จัก ดูที่ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง

การวางนัยทั่วไปสู่มิติที่สูงขึ้น

เมทริกซ์เฮสเซียน

บทความหลัก: เมทริกซ์เฮสเซียน

อนุพันธ์อันดับสองวางนัยทั่วไปในมิติที่สูงกว่าผ่านแนวคิดของอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง สำหรับฟังก์ชัน f: R³ → R อนุพันธ์ย่อยอันดับสองประกอบด้วยอนุพันธ์ย่อยดังนี้$${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$$และอนุพันธ์ย่อยผสม$${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}$$ในบางกรณี เช่นเมื่ออนุพันธ์อันดับสองทุกตัวเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เราสามารถนำอนุพันธ์อันดับสองทั้งหมดประกอบกันเป็นเมทริกซ์สมมาตรเรียกว่าเมทริกซ์เฮสเซียน ค่าเฉพาะของเมทริกซ์นี้สามารถใช้ทดสอบอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันหลายตัวแปร (ดูเพิ่มที่ การทดสอบอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง)

ตัวดำเนินการลาปลาส

บทความหลัก: ตัวดำเนินการลาปลาส

การวางนัยทั่วไปอีกรูปแบบหนึ่งของอนุพันธ์อันดับสองคือตัวดำเนินการลาปลาส ซึ่งเป็นตัวดำเนินการดิฟเฟอเรนเชียล $\nabla ^{2}$ (หรือ $\Delta$ ) ที่กำหนดโดย$$\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$$ลาปลาเซียนของฟังก์ชันเท่ากับไดเวอร์เจนซ์ของเกรเดียนต์ และเท่ากับรอยของเมทริกซ์เฮสเซียน

ดูเพิ่ม

• ความเชิร์ป อนุพันธ์อันดับสองของเฟสขณะหนึ่ง
• ผลต่างอันตะ ใช้ในการประมาณอนุพันธ์อันดับสอง
• การทดสอบอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง
• ความสมมาตรของอนุพันธ์อันดับสอง

อ่านเพิ่มเติม

สิ่งพิมพ์

• Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (February 2, 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8th ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
• Apostol, Tom M. (June 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, vol. 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
• Apostol, Tom M. (June 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, vol. 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5
• Eves, Howard (January 2, 1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (February 28, 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (4th ed.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
• Spivak, Michael (September 1994), Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
• Stewart, James (December 24, 2002), Calculus (5th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
• Thompson, Silvanus P. (September 8, 1998), Calculus Made Easy (Revised, Updated, Expanded ed.), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0

หนังสือออนไลน์

• Crowell, Benjamin (2003), Calculus
• Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus
• Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus
• Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
• Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2006-04-15
• Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations
• Strang, Gilbert (1991), Calculus
• Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2005-09-11
• Wikibooks, Calculus

แหล่งข้อมูลอื่น

• อนุพันธ์อันดับสองแบบไม่ต่อเนื่องจากจุดที่เว้นระยะไม่เท่ากัน