เกรเดียนต์

ในแคลคูลัสเวกเตอร์ เกรเดียนต์ (อังกฤษ: gradient) คือการดำเนินการกับฟังก์ชันหลายตัวแปร $f$ ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ซึ่งมีค่าเป็นสเกลาร์ ผลลัพธ์ที่ได้คือสนามเวกเตอร์ $\nabla f$ ที่ค่าที่แต่ละจุดจะชี้ไปในทิศทางที่ $f$ มีค่ามากขึ้นที่สุด และขนาดของเวกเตอร์เท่ากับอัตราการเพิ่มขึ้นในทิศทางนั้น ๆ เรียกสนามเวกเตอร์นี้ว่า เกรเดียนต์ของ $f$สัญลักษณ์ $\nabla$ เรียกว่าสัญลักษณ์นาบลา (nabla) หรือ เดล (del)

ในสองภาพข้างบนได้แสดงแทนฟังก์ชันสเกลาร์ด้วยสีดำและสีขาว สีดำแทนตำแหน่งที่ฟังก์ชันมีค่าสูงกว่า และเกรเดียนต์ที่แต่ละจุดแสดงโดยลูกศรสีฟ้า สังเกตว่าเกรเดียนต์ชี้ไปทิศทางที่ฟังก์ชันมีค่ามากขึ้น

เนื่องจากเกรเดียนต์ระบุทิศทางที่ฟังก์ชันมีค่าเพิ่มขึ้นมากที่สุด และทิศทางตรงกันข้ามของเกรเดียนต์ฟังก์ชันจะมีค่าน้อยที่สุด เกรเดียนต์จึงมีความสำคัญในวิชาการหาค่าเหมาะที่สุด เพื่อหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน $f$ ด้วยขั้นตอนวิธีการเคลื่อนลงตามความชัน (gradient descent)

แนวคิดจูงใจของเกรเดียนต์

เกรเดียนต์ของฟังก์ชันสองมิติ f(x, y) = xe^{−(x2 + y2)} ถูกพล็อตโดยใช้ลูกศรเหนือค่าของฟังก์ชันซึ่งแสดงโดยใช้สี

พิจารณาห้องที่อุณหภูมิภายในกำหนดด้วยฟังก์ชันค่าสเกลาร์ $T$ นั่นคือที่จุด $(x,y,z)$ อุณหภูมิที่ตำแหน่งนั้นคือ $T(x,y,z)$ และเป็นอิสระจากเวลา

เกรเดียนต์ของ $T$ ที่จุด $(x,y,z)$ จะบอกทิศทางที่อุณหภูมิเพิ่มขึ้นเร็วที่สุดเมื่อเดินทางออกจากจุด $(x,y,z)$ และขนาดของเกรเดียนต์จะระบุอัตราเร็วที่อุณหภูมิเพิ่มขึ้นในทิศทางนั้น

พิจารณาพื้นผิวที่ความสูงจากระดับน้ำทะเลที่จุด $(x,y)$ กำหนดโดยฟังก์ชัน $H(x,y)$ เกรเดียนต์ของ $H$ ที่จุด $(x,y)$ จะเป็นเวกเตอร์ที่ชี้บอกทิศทางที่ชันมากที่สุดจากจุดนั้น และความชันจะเท่ากับขนาดของเวกเตอร์เกรเดียนต์

นอกจากนี้ เกรเดียนต์ยังสามารถใช้วัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันค่าสเกลาร์ในทิศทางอื่นนอกเหนือไปจากทิศทางของเกรเดียนต์เอง โดยการหาผลคูณจุด สมมติว่าความชันสูงสุดที่จุด ๆ หนึ่งบนเนินเขาเท่ากับ 40% ถนนขึ้นเนินที่ทำมุมอื่น ๆ ย่อมจะมีความชันน้อยกว่า เราสามารถหาความชันได้โดยหาผลคูณจุดระหว่างเกรเดียนต์ที่จุดที่สนใจ และเวกเตอร์หน่วยที่ชี้ไปตามทิศทางของถนน

โดยทั่วไปกว่านั้น ถ้าฟังก์ชัน $H$ ที่ระบุความสูงของเนิน เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ แล้วเกรเดียนต์ของ $H$ คูณสเกลาร์กับเวกเตอร์หน่วยจะเท่ากับความชันของเนินในทิศทางนั้น หรือก็คืออนุพันธ์ระบุทิศทางของ $H$ ในทิศทางของเวกเตอร์หน่วยนั้น

สัญลักษณ์ที่ใช้

เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน $f$ ที่จุด $a$ นิยมเขียนแทนด้วย $\nabla f(a)$ แต่อาจจะมีสัญลักษณ์อื่น ๆ เช่น

• ${\vec {\nabla }}f(a)$ : เพื่อเจาะจงความเป็นเวกเตอร์ของเกรเดียนต์
• $\operatorname {grad} f$
• $\partial _{i}f$ and $f_{i}$ : โดยใช้สัญกรณ์ของไอน์ชไตน์ (Einstein notation) โดยดรรชนีที่ซ้ำให้ถือว่าถูกบวกอยู่ (i)

นิยาม

เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน f(x,y) = −(cos²x + cos²y)² แสดงผ่านสนามเวกเตอร์ที่ถูกฉายลงบนระนาบด้านล่าง

เกรเดียนต์ของฟังก์ชันสเกลาร์ $f(x_{1},\dotsc ,x_{n})$ เขียนแทนด้วย $\nabla f$ หรือ ${\vec {\nabla }}f$ นิยามให้เป็นสนามเวกเตอร์ซึ่งมีเพียงแบบเดียวที่ผลคูณจุดกับเวกเตอร์ $\mathbf {v}$ ที่จุด $x$ จะเท่ากับอนุพันธ์ระบุทิศทางของ $f$ ไปตาม $\mathbf {v}$ นั่นคือ$${\big (}\nabla f(x){\big )}\cdot \mathbf {v} =D_{\mathbf {v} }f(x)$$

เมื่อพจน์ทางขวามือคืออนุพันธ์ระบุทิศทางของฟังก์ชัน $f$ ในทางรูปนัยเราจะกล่าวว่าการหาอนุพันธ์เป็นดูอัลของเกรเดียนต์ มีวิธีการหาค่าของเกรเดียนต์หลายวิธีซึ่งเสนอไว้ด้านล่าง

สัญลักษณ์ $\nabla$ เรียกว่าตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์สำหรับเวกเตอร์

ขนาดและทิศทางของเกรเดียนต์ไม่ขึ้นกับระบบพิกัดที่ใช้

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติพร้อมกับเมตริกแบบยูคลิด เกรเดียนต์ถ้ามีค่าจะเป็นไปตามสมการ

$$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} ,$$

เมื่อ i, j, k เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยมาตรฐานในทิศทางของระบบพิกัด x, y และ z ตามลำดับ ตัวอย่างเช่น เกรเดียนต์ของฟังก์ชัน$$f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)$$คือ$$\nabla f(x,y,z)=2\mathbf {i} +6y\mathbf {j} -\cos(z)\mathbf {k} .$$หรือเขียนแทนด้วย$$\nabla f(x,y,z)={\begin{bmatrix}2\\6y\\-\cos z\end{bmatrix}}.$$

ในบางการใช้งานนิยมเขียนเกรเดียนต์เป็นเวกเตอร์แถวหรือเวกเตอร์หลัก

อ้างอิง

บรรณานุกรม

• Bachman, David (2007), Advanced Calculus Demystified, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-148121-2
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X
• Downing, Douglas, Ph.D. (2010), Barron's E-Z Calculus, New York: Barron's, ISBN 978-0-7641-4461-5
• Dubrovin, B. A.; Fomenko, A. T.; Novikov, S. P. (1991). Modern Geometry—Methods and Applications: Part I: The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields. Graduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-97663-1.
• Harper, Charlie (1976), Introduction to Mathematical Physics, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-487538-9
• Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8
• "McGraw Hill Encyclopedia of Science & Technology". McGraw-Hill Encyclopedia of Science & Technology (10th ed.). New York: McGraw-Hill. 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
• Moise, Edwin E. (1967), Calculus: Complete, Reading: Addison-Wesley
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042
• Schey, H. M. (1992). Div, Grad, Curl, and All That (2nd ed.). W. W. Norton. ISBN 0-393-96251-2. OCLC 25048561.
• Stoker, J. J. (1969), Differential Geometry, New York: Wiley, ISBN 0-471-82825-4
• Swokowski, Earl W.; Olinick, Michael; Pence, Dennis; Cole, Jeffery A. (1994), Calculus (6th ed.), Boston: PWS Publishing Company, ISBN 0-534-93624-5
• Arens, T.; Hettlich, F.; Karpfinger, C.; Kockelkorn, U.; Lichtenegger, K.; Stachel, H. (2022), Mathematik (5th ed.), Springer Spektrum Berlin, ISBN 978-3-662-64388-4