สมการเลียปูนอฟ

บทความนี้อ้างอิงคริสต์ศักราช/คริสต์ทศวรรษ/คริสต์ศตวรรษ ซึ่งเป็นสาระสำคัญของเนื้อหา

สมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง (อังกฤษ: discrete Lyapunov equation) คือสมการในรูปแบบ

AXA^{H}-X+Q=0

โดยที $Q$ คือ เมทริกซ์เอร์มีเชียน (Hermitian matrix) และ $A^{H}$ คือ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของ $A$

ในขณะที่ สมการเลียปูนอฟต่อเนื่อง (อังกฤษ: continuous Lyapunov equation) คือสมการในรูปแบบ

AX+XA^{H}+Q=0

.

สมการเลียปูนอฟมักถูกใช้ในหลายสาขาของทฤษฎีระบบควบคุมเช่น ในการวิเคราะห์เสถียรภาพ และการควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด (optimal control) โดยชื่อของสมการนี้ตั้งตามชื่อของ อเล็กซานเดอร์ มิคาอิลโลวิช เลียปูนอฟ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย (6 มิถุนายน ค.ศ. 1857 – 3 พฤศจิกายน ค.ศ. 1918)

การประยุกต์ใช้กับการวิเคราะห์เสถียรภาพ

ในที่นี้เรากำหนดให้ $A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ และ $P$ และ $Q$ เป็นเมทริกซ์สมมาตร สัญลักษณ์ $P>0$ หมายถือว่า $P$ คือ เมทริกซ์บวกแน่นอน (Positive-definite matrix)

ทฤษฎีเสถียรภาพกรณีเวลาต่อเนื่อง ถ้ามี $P>0$ และ $Q>0$ ที่สามารถทำให้ $A^{T}P+PA+Q=0$ เป็นจริงแล้ว ระบบเชิงเส้น (linear system) ${\dot {x}}=Ax$ เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ (globally asymptotically stable) โดยที่สมการกำลังสอง $V(z)=z^{T}Pz$ นั้นจะนิยามเป็น ฟังก์ชันเลียปูนอฟ (Lyapunov function) ซึ่งใช้ในการตวรจสอบเสถียรภาพของระบบ

ทฤษฎีเสถียรภาพกรณีเวลาต่อเนื่องไม่ต่อเนื่อง ถ้ามี $P>0$ และ $Q>0$ ที่สามารถทำให้ $A^{T}PA-P+Q=0$ เป็นจริงแล้ว ระบบเชิงเส้น $x(t+1)=Ax(t)$ เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ และ $z^{T}Pz$ นั้นคือฟังก์ชันเลียปูนอฟ

แง่มุมในการคำนวณ

สมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่องสามารถใช้ ส่วนเติมเต็มชูร์ (Schur complement) ในการคำนวณได้ดังขั้นตอนวิธีที่แสดงข้างล่างนี้

{\begin{bmatrix}X^{-1}&A\\A^{H}&X-Q\end{bmatrix}}=0

ซึ่งสมมูลกับ

{\begin{bmatrix}X&XA\\A^{H}X&X-Q\end{bmatrix}}=0

.

นอกจากนี้ยังมีซอฟต์แวร์เฉพาะทางให้เลือกใช้ในการคำนวณสมการเลียปูนอฟ โดยในกรณีสมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง วิธีการของชูร์โดยกิตากาวา (Schur method of Kitagawa) ^[1] มักเป็นที่นิยม ในขณะที่กรณีสมการเลียปูนอฟต่อเนื่องวิธีการของ บาร์เทล และ ชวาร์ซ‎^[2] สามารถใช้ได้เช่นกัน

ผลตอบเชิงวิเคราะห์

เราสามารถหาผลตอบเชิงวิเคราะห์ (analytic solution) สำหรับกรณีสมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง โดนนิยามให้ ${\text{vec}}(A)$ เป็นตัวดำเนินการที่ทำการเรียงซ้อนคอลัมน์ของเมทริกซ์ $A$ และนิยาม ${\text{kron}}(A,B)$ เป็น ผลคูณโคนเน็กเกอร์ (Kronecker product) ระหว่าง $A$ และ $B$ และโดยการใช้ผลจาก ${\text{vec}}(ABC)={\text{kron}}(C^{T},A){\text{vec}}(B)$ , เราสามารถใช้ $(I-{\text{kron}}(A,A)){\text{vec}}(X)={\text{vec}}(Q)$ เมื่อ $I$ คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์ที่ conformable ^[3] จากนั้นเราสามารถแก้สมการสำหรับหาค่าของ ${\text{vec}}(X)$ โดยการหาเมทริกซ์ผกผันหรือการแก้สมการเชิงเส้น โดยในการได้มาซึ่งค่า $X$ ต้องมีการปรับขนาดของ ${\text{vec}}(X)$ อย่างเหมาะสมด้วย

ดูเพิ่ม

อ้างอิง

↑ Kitagawa, An Algorithm for Solving the Matrix Equation X = F X F' + S, International Journal of Control, Vol. 25, No. 5, p745–753 (1977).
↑ R. H. Bartels and G. W. Stewart, Algorithm 432: Solution of the matrix equation AX + XB = C, Comm. ACM, 15 (1972), p820-826.
↑ J. Hamilton (1994), Time Series Analysis, equations 10.2.13 and 10.2.18. Princeton University Press.

แหล่งข้อมูลอื่น

Online solver for arbitrary sized matrices.^{[ลิงก์เสีย]}

[1] Kitagawa, An Algorithm for Solving the Matrix Equation X = F X F' + S, International Journal of Control, Vol. 25, No. 5, p745–753 (1977).

[2] R. H. Bartels and G. W. Stewart, Algorithm 432: Solution of the matrix equation AX + XB = C, Comm. ACM, 15 (1972), p820-826.

[3] J. Hamilton (1994), Time Series Analysis, equations 10.2.13 and 10.2.18. Princeton University Press.

[1]

[2]

[3]