ระบบพิกัดทรงกระบอก

ระบบพิกัดทรงกระบอก (อังกฤษ: cylindrical coordinate system) เป็นระบบพิกัดสามมิติที่กำหนดตำแหน่งของจุดโดยใช้ระยะทางจากแกนอ้างอิง มุมจากทิศอ้างอิง และระยะทางจากระนาบอ้างอิงที่ตั้งฉากกับแกนอ้างอิง โดยระยะทางจากระนาบมีเครื่องหมายเป็นบวกหรือลบได้ ขึ้้นกับฝั่งของระนาบที่หันหาจุด

ระบบพิกัดทรงกระบอก มี O เป็นจุดกำเนิด A เป็นแกนเชิงขั้ว L เป็นแกนลองจิจูด

จุดที่พิกัดทั้งสามเป็นศูนย์ คือจุดกำเนิด ซึ่งเป็นจุดที่แกนอ้างอิงตัดกับทิศอ้างอิง แกนอ้างอิงอาจเรียกว่าแกนทรงกระบอก หรือแกนลองจิจูด ส่วนรังสีจากจุดกำเนิดไปทิศอ้างอิงอาจเรียกว่า แกนเชิงขั้ว

ระยะทางจากแกนลองจิจูดเรียกว่ารัศมี มุมจากแกนเชิงขั้วเรียกว่ามุมทิศ พิกัดทั้งสองนี้รวมกันเป็นระบบพิกัดเชิงขั้ว ซึ่งเมื่อเพิ่มระยะทางจากระนาบ เรียกว่า ความสูง จะได้ระบบพิกัดทรงกระบอก

นิยาม

จุด P ใด ๆ ในระบบพิกัดทรงกระบอกแสดงโดยสามสิ่งอันดับ (ρ, φ, z) โดยที่

• ρ แสดงรัศมี คือระยะห่างของ P จากแกนอ้างอิง นั่นคือ แกน z
• φ แสดงมุมทิศ คือมุมระหว่างทิศอ้างอิงบนระนาบอ้างอิง กับเส้นตรงที่ลากจากจุดกำเนิดไปหาภาพฉายของจุด P บนระนาบอ้างอิง
• z แสดง ความสูง คือระยะทางที่คิดเครื่องหมายจากจุด P ไประนาบอ้างอิง

จากนิยามเพียงเท่านี้ จุดหนึ่งจุดยังคงมีได้หลายพิกัด โดยพิกัด (ρ, φ, z) จะแสดงจุดเดียวกับ (ρ, φ + n×360°, z) และ (−ρ, φ + (2n + 1)×180°, z) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มใด ๆ เสมอ ดังนั้นเพื่อให้แต่ละจุดระบุพิกัดได้แบบเดียว ตามปกติจะจำกัดให้ ρ ≥ 0 และ φ อยู่ในช่วง [−180°,+180°] หรือ [0,360°]

สัญกรณ์อีกแบบที่ใช้บ่อย คือใช้ r แทนรัศมี ใช้ θ แทนมุมทิศ และ h แทนความสูง

การแปลงระหว่างระบบพิกัด

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

โดยปกติถือว่า แกน z ของระบบพิกัดทรงกระบอกเป็นแกนเดียวกับแกน z ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ดังนั้นพิกัด z ของทั้งสองระบบจึงมีค่าเท่ากัน ส่วนอีกสองพิกัดของระบบพิกัดทรงกระบอกเหมือนกับระบบพิกัดเชิงขั้ว ดังนั้นการแปลงพิกัดทรงกระบอกเป็นคาร์ทีเซียนมีสูตรว่า

${\begin{aligned}x&=\rho \cos \phi \\y&=\rho \sin \phi \\z&=z\end{aligned}}$

และการแปลงพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นทรงกระบอกมีสูตรว่า

${\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi &={\begin{cases}0&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0\\\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)&{\mbox{if }}x\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0\end{cases}}\end{aligned}}$

ระบบพิกัดทรงกลม

การแปลงระบบพิกัดทรงกระบอกเป็นระบบพิกัดทรงกลม เมื่อใช้ φ แทนมุมทิศและ θ แทนมุมเชิงขั้ว มีสูตรว่า

${\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\\\varphi &=\varphi \\\theta &=\arctan \left({\frac {\rho }{z}}\right)\end{aligned}}$

และการแปลงกลับมีสูตรว่า

${\begin{aligned}\rho &=rsin\theta \\\varphi &=\varphi \\z&=rcos\theta \\\end{aligned}}$