ในทางคณิตศาสตร์ สมาชิก x ในริง R จะเรียกว่าเป็น นิรพล (อังกฤษ: nilpotent) ก็ต่อเมื่อมีจำนวนเต็มบวก n อย่างน้อยหนึ่งจำนวน ที่ทำให้

ตัวอย่างแก้ไข

 

เป็นนิรพล เพราะว่า   ดูเพิ่มที่ เมทริกซ์นิรพล (nilpotent matrix)

  • ในริงตัวประกอบ Z/9Z สมาชิก 3 เป็นนิรพล เพราะว่า 32 สมภาคกับ 0 มอดุโล 9
  • สมมติให้ a และ b เป็นสมาชิกของริงไม่สลับที่ R และ  
    ดังนั้นสมาชิก c ใดๆ ที่เท่ากับ ab จะเป็นนิรพลเนื่องจาก   ตัวอย่างสมาชิก a และ b เช่น
  ซึ่งทำให้  

สมบัติแก้ไข

  • สมาชิกนิรพลใด ๆ ไม่สามารถเป็นหน่วยได้ (ยกเว้นในริงศูนย์ ซึ่งมีสมาชิกตัวเดียวคือ 0 = 1)
  • สมาชิกนิรพลที่ไม่เป็นศูนย์ เป็นตัวประกอบของศูนย์ (zero divisor)
  • เมทริกซ์ขนาด n คูณ n ที่มีสมาชิกมาจากฟีลด์ใด ๆ เป็นนิรพลก็ต่อเมื่อมีพหุนามเอกลักษณ์ (characteristic polynomial) เป็น tn
  • หาก x เป็นสมาชิกนิรพลแล้ว 1 - x เป็นหน่วย เพราะเมื่อ xn = 0 แล้วจะได้ว่า

 

โดยทั่วไปจะได้ว่า ผลบวกของสมาชิกหน่วยกับสมาชิกนิรพลเป็นหน่วยเสมอเมื่อทั้งสองสลับที่ได้

ดูเพิ่มแก้ไข