นิรพล

ในทางคณิตศาสตร์ สมาชิก x ในริง R จะเรียกว่าเป็น นิรพล (อังกฤษ: nilpotent) ก็ต่อเมื่อมีจำนวนเต็มบวก n อย่างน้อยหนึ่งจำนวน ที่ทำให้ $x^{n}=0$

ตัวอย่าง

• นิยามดังกล่าวสามารถใช้ได้ในเมทริกซ์จัตุรัสบางเมทริกซ์ เช่นเมทริกซ์นี้

$A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$

เป็นนิรพล เพราะว่า $A^{3}=0$ ดูเพิ่มที่ เมทริกซ์นิรพล (nilpotent matrix)

• ในริงตัวประกอบ Z/9Z สมาชิก 3 เป็นนิรพล เพราะว่า 3² สมภาคกับ 0 มอดุโล 9
• สมมติให้ a และ b เป็นสมาชิกของริงไม่สลับที่ R และ $ab=0$
  ดังนั้นสมาชิก c ใดๆ ที่เท่ากับ ab จะเป็นนิรพลเนื่องจาก $c^{2}=(ba)^{2}=b(ab)a=0$ ตัวอย่างสมาชิก a และ b เช่น

$A_{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;A_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ ซึ่งทำให้ $A_{1}A_{2}=0,\;A_{2}A_{1}=A_{2}$

• ริงของ โคควอเทอร์เนียน มีสมาชิกนิรพลเป็นทรงกรวย

สมบัติ

• สมาชิกนิรพลใด ๆ ไม่สามารถเป็นหน่วยได้ (ยกเว้นในริงศูนย์ ซึ่งมีสมาชิกตัวเดียวคือ 0 = 1)
• สมาชิกนิรพลที่ไม่เป็นศูนย์ เป็นตัวประกอบของศูนย์ (zero divisor)
• เมทริกซ์ขนาด n คูณ n ที่มีสมาชิกมาจากฟีลด์ใด ๆ เป็นนิรพลก็ต่อเมื่อมีพหุนามเอกลักษณ์ (characteristic polynomial) เป็น tⁿ
• หาก x เป็นสมาชิกนิรพลแล้ว 1 - x เป็นหน่วย เพราะเมื่อ xⁿ = 0 แล้วจะได้ว่า

$(1-x)(1+x+x^{2}+...+x^{n-1})=1-x^{n}=1$

โดยทั่วไปจะได้ว่า ผลบวกของสมาชิกหน่วยกับสมาชิกนิรพลเป็นหน่วยเสมอเมื่อทั้งสองสลับที่ได้

ดูเพิ่ม

• นิจพล (idempotent)