เปิดเมนูหลัก

ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มา (อังกฤษ: Fermat's little theorem) กล่าวว่า ถ้า เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว สำหรับจำนวนเต็ม ใด ๆ จะได้ว่า

หมายความว่า ถ้าเลือกจำนวนเต็ม มาคูณกัน ครั้ง จากนั้นลบด้วย ผลลัพธ์ที่ได้จะหารด้วย ลงตัว (ดูเลขคณิตมอดุลาร์)

ทฤษฎีบทนี้กล่าวอีกแบบหนึ่งได้ว่า ถ้า เป็นจำนวนเฉพาะ และ เป็นจำนวนเต็มที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ แล้ว จะได้ว่า

บทพิสูจน์แก้ไข

ปีแยร์ เดอ แฟร์มาได้ตั้งทฤษฎีบทนี้โดยไม่ได้ให้บทพิสูจน์ไว้ ต่อมา กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ได้เขียนบทพิสูจน์ไว้ในหนังสือโดยไม่ได้ลงวันที่ รู้เพียงว่าเขาพิสูจน์ได้ก่อน ค.ศ. 1683

บทพิสูจน์ที่ 1แก้ไข

ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ และ   แล้ว  

กำหนดจำนวน 1,2,3,...,p-1 (mod p)

จะมีจำนวน 1,2,3,...,p-1 คูณจำนวนเหล่านี้ด้วย a ได้ a,2a,3a,...,(p-1)a (mod p)

พิสูจน์ว่าเซต {a,2a,3a,...,(p-1)a} กับ {1,2,3,...,p-1} (mod p) ทั้งสองเซตเท่ากันภายใต้ mod p

กรณีที่ 1 ไม่มีจำนวน r เป็นสมาชิกในเซต {1,2,3,...,p-1} ที่ทำให้  (mod p) แล้ว  เป็นไปไม่ได้ เพราะ  และ 0<r<p ทำให้  ดังนั้น

ไม่มีจำนวน r ที่ทำให้  (mod p) เพราะ p เป็นจำนวนเฉพาะวิธีเดียวที่จะหารด้วย p ลงตัวคือ r หรือ a จะต้องหารด้วย p ลงตัว

ฉะนั้นในเซต {a,2a,3a,...,(p-1)a} จะไม่มี 0 เป็นสมาชิกแสดงว่า ในเซต {a,2a,3a,...,(p-1)a} เมื่อ mod p จำนวนที่เป็นไปได้

คือ 1 ถึง p-1 ยกเว้น 0 ในเศษ p ที่เป็นไปได้

กรณีที่ 2 ในเซต {a,2a,3a,...,(p-1)a} ไม่มีตัวไหนที่ซ้ำกันภายใต้ mod p

มีจำนวน r,s เป็นสมาชิกในเซต {1,2,3,...,p-1} และ   ดังนั้น

พิสูจน์ว่า  (mod p) ก็คือ   (mod p) แยกตัวประกอบได้   การที่จะทำให้เกิดข้อขัดแย้งได้

 (mod p) จึงมีสมการคือ

0<r<p 0<s<p หา r-s นำ 0<s<p คูณด้วย -1 ได้ -p<-s<0 นำมาบวกด้วย 0<r<p จะได้

-p<r-s<p และ   ทำให้  

ถ้า r-p เป็นจำนวนเต็มบวก 0<r-s<p ดังนั้น  

ถ้า r-p เป็นจำนวนเต็มลบ -p<r-s<0 ดังนั้น  

หมายความว่า  (mod p) ดังนั้น  (mod p)

ดังนั้นภายในเซต {a,2a,3a,...,(p-1)a} ไม่มีตัวไหนที่ซ้ำกันภายใต้ mod p

จากสองกรณีจะได้ เซต {a,2a,3a,...,(p-1)a} มีตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง p-1 และเซตนี้มีสมาชิก p-1 ตัวและ ตัวเลขไม่ซ้ำกันทำให้มีเลขตั้งแต่ 1 ถึง p-1 ครบทุกตัวภายใต้ mod p

ทำให้ {a,2a,3a,...,(p-1)a} mod p={1,2,3,...,p-1}

ดังนั้นเมื่อเอาสมาชิกในแต่ละเซตคูณกันแล้วจะได้ตัวเลขที่เท่ากันภายใต้ mod p

ax2ax3ax...x(p-1)xa   1x2x3,...,p-1 (mod p)

(p-1)!  (p-1)! (mod p)

เนื่องจาก ทฤษฎีบทของวิลสัน (p-1)!  (mod p) ได้

  (mod p)

คูณด้วย -1 ทั้งสองข้างได้

  ถ้า  

จำนวนเฉพาะเทียมแก้ไข

ถ้า   และ   เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน และทำให้   หารด้วย   ลงตัว แล้ว   ไม่จำเป็นจำนวนเฉพาะเสมอไป ถ้า   ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ เราจะเรียก   ว่าเป็น จำนวนเฉพาะเทียม (pseudoprime) ฐาน  . ใน ค.ศ. 1820 F. Sarrus พบว่า   เป็นจำนวนเฉพาะเทียมฐาน 2 ตัวแรก