ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน

ในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะในสาขาคณิตวิเคราะห์ ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน (อังกฤษ: Inverse function theorem) เป็นทฤษฎีบทที่ระบุเงื่อนไขที่เพียงพอที่ทำให้ฟังก์ชันสามารถหาอินเวอร์สได้บนย่านใกล้เคียงของจุดบางจุดในโดเมนของฟังก์ชัน เงื่อนไขดังกล่าวคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และไม่เท่ากับศูนย์ที่จุดนั้น

ทฤษฎีบทนี้สมมูลกับทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย

ทฤษฎีบทนี้ยังเป็นจริงสำหรับปริภูมิและฟังก์ชันจำนวนมาก อาทิ ในกรณีที่ $f$ เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก หรือเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ระหว่างแมนิโฟลด์ หรือเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ระหว่างปริภูมิบานาค เป็นต้น

เนื้อความของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทข้างต้นมีหลายแบบสำหรับเงื่อนไขแตกต่างกัน ด้านล่างเป็นรูปแบบหนึ่ง

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน (สำหรับ $\mathbb {R} ^{n}$) — ให้ $A$ เป็นสับเซตเปิดของ $\mathbb {R} ^{n}$ และ $f\colon A\to \mathbb {R} ^{n}$ เป็นฟังก์ชันในชั้น $C^{r}$ หากอนุพันธ์รวม $Df(x)$ สามารถหาอินเวอร์สได้ที่จุด $p\in A$ แล้วจะมีย่านใกล้เคียง $U$ รอบจุด $p$ ที่ทำให้ $f$ ส่งเซต $U$ ไปยังเซตเปิด $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ อย่างหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง และ $f^{-1}\colon V\to U$ เป็นฟังก์ชันในชั้น $C^{r}$ ด้วย

เงื่อนไขที่สมมูลกันกับ อนุพันธ์รวม $Df(x)$ สามารถหาอินเวอร์สได้ที่จุด $p\in A$ คือ จาโคเบียนเมทริกซ์ $J_{f}(p)$ ที่จุด $p$ มีดีเทอร์มิแนนท์ไม่เป็นศูนย์

โดยใช้กฎลูกโซ่ จะได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันนั้นจะเท่ากับ $D(f^{-1})(x)=(Df(x))^{-1}$

ในกรณีที่ $n=1$ และ $f$ เป็นฟังก์ชันในชั้น $C^{1}$ (นั่นคือ $f$ หาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง) จะได้ทฤษฎีบทในแคลคูลัสตัวแปรเดียวดังนี้

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน (สำหรับ $\mathbb {R}$) — ให้ $f\colon I\to \mathbb {R}$ เป็นฟังก์ชันบนช่วงเปิด $I$ และ $f$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง โดยที่ $f'(p)\neq 0$ สำหรับบาง $p\in I$ แล้วจะได้ว่า $f$ มีอินเวอร์ส และฟังก์ชันอินเวอร์สนั้นหาอนุพันธ์ได้ที่จุด $b=f(a)$

นอกจากนี้แล้ว $(f^{-1})'(b)=1/f'(a)$

ตัวอย่าง

พิจารณาฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}\!$ กำหนดโดย

$F(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}$

เมทริกซ์จาโคเบียนของ $F$ คือ

$J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}$

โดยมีดีเทอร์มิแนนท์เท่ากับ

$\det J_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}\,\!$

จะเห็นได้ว่าดีเทอร์มิแนนท์ $e^{2x}\!$ ไม่เป็นศูนย์ทุกที่ โดยใช้ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันจึงยืนยันได้ว่า ทุก ๆ จุด $p\in \mathbb {R} ^{2}$ จะมีย่านใกล้เคียงของ $p$ ที่ทำให้ $F$ หาอินเวอร์สได้ แต่ไม่ได้หมายความว่า $F$ จะหาอินเวอร์สได้บนโดเมนทั้งหมด ทั้งนี้เพราะว่า $F$ ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งด้วยซ้ำ (เพราะ $F(x,y)=F(x,y+2\pi )\!$ ดังนั้น $F$ เป็นฟังก์ชันคาบ)

ตัวอย่างค้านเมื่อสละเงื่อนไขบางส่วน

ฟังก์ชัน $f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})$ ถูกกำกับให้อยู่ในบริเวณปิดล้อมกำลังสองใกล้เส้นตรง$y=x$ ดังนั้น $f'(0)=1$ อย่างไรก็ตามฟังก์ชันนี้มีจุดสูงสุด/ต่ำสุดเป็นจุดสะสมรอบ $x=0$ จึงทำให้ฟังก์ชันดังกล่าวไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งในบริเวณนั้น

ถ้าหากไม่มีเงื่อนไขที่ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันต้องต่อเนื่องแล้ว ทฤษฎีบทข้างต้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ กำหนดโดย

$f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})$ และ $f(0)=0$

มีอนุพันธ์ที่ไม่ต่อเนื่องดังนี้

$f'(x)={\begin{cases}1-2\cos({\tfrac {1}{x}})+4x\sin({\tfrac {1}{x}}),&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}$ และมีจุดที่ทำให้ $f'(x)=0$ ทุก ๆ ย่านใกล้เคียงของ 0

ที่จุดดังกล่าวเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน $f$ ดังนั้น $f$ จึงไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และหาอินเวอร์สไม่ได้ทุกช่วงที่มี $x=0$

หรืออีกนัยหนึ่ง เส้นความชัน $f'\!(0)=1$ ไม่ได้กำกับหรือบังคับจุดใกล้เคียง ซึ่งเส้นโค้งความชันที่จุดนั้น ๆ จะสั่น (oscillate) เป็นจำนวนอนันต์นับไม่ได้

วิธีการพิสูจน์

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันมีบทพิสูจน์ที่หลากหลาย บทพิสูจน์ส่วนใหญ่ใช้หลักการการส่งแบบหดตัว หรือที่รู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีบทจุดตรึงบานาค และเนื่องจากทฤษฎีบทจุดตรึงนั้นสามารถขยายนัยทั่วไปไปยังกรณีมิติเป็นอนันต์ (ในปริภูมิบานาค) ได้ ทำให้ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันขยายนัยทั่วไปไปยังมิติอนันต์ได้

บทพิสูจน์แบบหนึ่งใช้ทฤษฎีบทค่าขีดสุดสำหรับฟังก์ชันบนเซตกระชับ

อีกบทพิสูจน์หนึ่งใช้ขั้นตอนวิธีของนิวตัน ซึ่งสามารถให้ค่าประมาณขนาดย่านใกล้เคียงที่ฟังก์ชันนั้นหาอินเวอร์สได้

การขยายนัยทั่วไป

แมนิโฟลด์

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสามารถเขียนให้อยู่ในรูปการส่งหาอนุพันธ์ได้ระหว่างแมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้ ในกรณีนี้ ทฤษฎีบทอยู่ในรูป

ให้ $F:M\to N$ เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ (ในชั้น $C^{1}$) หากดิฟเฟอเรนเชียลของ $F$

$dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N$

เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเชิงเส้นที่จุด $p$ ใน $M$ แล้วจะมีย่านใกล้เคียงเปิด $U$ ของ $p$ ที่ทำให้

$F|_{U}:U\to F(U)$

เป็นอนุพันธสัณฐาน สังเกตว่าทฤษฎีบทข้างต้นยืนยันว่าส่วนเชื่อมโยงใน $M$ และ $N$ ที่มี $p$ และ $F(p)$ เป็นสมาชิกจะมีมิติเท่ากัน นอกจากนี้ถ้าอนุพันธ์ของ $F$ เป็นฟังก์ชันสมสัณฐานทุกจุด $p$ ใน $M$ แล้วการส่ง $F$ จะเป็นอนุพันธสัณฐานเฉพาะที่ (local diffeomorphism)

ปริภูมิบานาค

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสามารถขยายไปยังการส่งหาอนุพันธ์ได้ระหว่างปริภูมิบานาค $X$ และ $Y$ ให้ $U$ เป็นย่านใกล้เคียงเปิดของจุดกำเนิดใน $X$ และ $F:U\to Y\!$ เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และสมมติให้อนุพันธ์เฟรเช $dF_{0}:X\to Y\!$ ของ $F$ ที่จุด 0 เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเชิงเส้นที่มีขอบเขต แล้วจะมีย่านใกล้เคียงเปิด $V$ ของ $F(0)\!$ ใน $Y$ และฟังก์ชัน $G:V\to X\!$ ซึ่งเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่ทำให้ $F(G(y))=y$ สำหรับทุก $y\in Y$

ยิ่งไปกว่านั้น $G(y)\!$ จะเป็นผลเฉลยเดียวที่เล็กเพียงพอสำหรับสมการ $F(x)=y\!$

แมนิโฟลด์บานาค

การวางนัยทั่วไปข้างต้นสามารถนำมารวมกันได้เป็นทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสำหรับแมนิโฟลด์บานาค

ทฤษฎีบทแรงค์คงที่

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันและทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายอาจมองได้ว่าเป็นกรณีเฉพาะหนึ่งของทฤษฎีบทแรงค์คงที่ ซึ่งกล่วว่าการส่งเรียบที่มีแรงค์คงตัวใกล้จุด ๆ หนึ่งจะสามารถเขียนในรูปแบบปรกติใกล้จุด ๆ นั้นได้ หรืออีกนัยหนึ่ง หาก $F:M\to N$ มีแรงค์คงตัวใกล้กับจุด $p\in M\!$ แล้วจะมีช่วงเปิด $U$ ของ $p$ และ $V$ ของ $F(p)$ และอนุพันธสัณฐาน $u:T_{p}M\to U\!$ และ $v:T_{F(p)}N\to V\!$ ที่ทำให้ $F(U)\subseteq V\!$ และอนุพันธ์ $dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N\!$ มีค่าเท่ากับ $v^{-1}\circ F\circ u\!$ ซึ่งก็คือ $F$ ประพฤติตัวเหมือนเป็นอนุพันธ์ของมันเองใกล้ ๆ $p$ ความเป็น semicontinuous ของฟังก์ชันแรงค์ส่งผลให้มีเซตปิดหนาแน่นบนโดเมนของ $F$ ที่อนุพันธ์ดังกล่าวมีแรงค์คงตัว จึงทำให้ทฤษฎีบทแรงค์คงที่ใช้ได้กับจุดใด ๆ บนโดเมน

เมื่ออนุพันธ์ของ $F$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (อ่าน: ทั่วถึง) ที่จุด $p$ แล้วจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (อ่าน: ทั่วถึง) บนย่านใกล้เคียงบางย่านของ $p$ ด้วย ดังนั้นแรงค์ของ $F$ จะคงตัวบนย่านนั้น จึงสามารถใช้ทฤษฎีบทแรงค์คงตัวได้

ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก

ถ้าฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก $F$ นิยามบนเซตเปิดของ $\mathbb {C} ^{n}$ ไปยัง $\mathbb {C} ^{n}$ และเมทริกซ์จาโคเบียนของอนุพันธ์เชิงซ้อนหาอินเวอร์สได้ที่จุด $p$ แล้ว $F$ จะเป็นฟังก์ชันหาอินเวอร์สได้ในบางบริเวณรอบ ๆ จุด $p$ ทฤษฎีบทนี้เป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชันค่าจริง และสามารถฟิสูจน์ได้ว่าอินเวอร์สของฟังก์ชันต้องเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก

ฟังก์ชันพหุนาม

ถ้าข้อความคาดการณ์จาโคเบียนเป็นจริง ข้อความคาดการณ์ดังกล่าวจะเป็นตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน ข้อความดังกล่าวกล่าวว่า ถ้าฟังก์ชันพหุนามค่าเวกเตอร์มีดีเทอร์มิแนนท์จาโคเบียนเป็นพหุนามที่หาอินเวอร์สได้ (ซึ่งก็คือเป็นพหุนามคงตัวที่ไม่เป็นพหุนามศูนย์) แล้วฟังก์ชันนั้นจะมีอินเวอร์สที่เป็นฟังก์ชันพหุนามด้วย ปัจจุบันยังไม่ทราบว่าข้อความคาดการณ์ดังกล่าวเป็นจริงหรือเท็จแม้แต่ในกรณีที่มีตัวแปรสองตัว จึงเป็นปัญหาเปิดสำคัญในทฤษฎีของพหุนาม

ดูเพิ่ม

• ทฤษฎีบทจุดตรึงบานาค
• ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย
• ทฤษฎีบทแนช-โมเซอร์

อ่านเพิ่ม

• Allendoerfer, Carl B. (1974). "Theorems about Differentiable Functions". Calculus of Several Variables and Differentiable Manifolds. New York: Macmillan. pp. 54–88. ISBN 0-02-301840-2.
• Baxandall, Peter; Liebeck, Hans (1986). "The Inverse Function Theorem". Vector Calculus. New York: Oxford University Press. pp. 214–225. ISBN 0-19-859652-9.
• Nijenhuis, Albert (1974). "Strong derivatives and inverse mappings". Amer. Math. Monthly. 81 (9): 969–980. doi:10.2307/2319298. hdl:10338.dmlcz/102482.
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1985). "Transformations and Jacobians". Intermediate Calculus (Second ed.). New York: Springer. pp. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.
• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). An Introduction to Partial Differential Equations. Texts in Applied Mathematics 13 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 337–338. ISBN 0-387-00444-0.
• Rudin, Walter (1976). Principles of mathematical analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics (Third ed.). New York: McGraw-Hill Book. pp. 221-223.