การแปลงลาปลาส

ในทางคณิตศาสตร์ การแปลงลาปลาส (อังกฤษ: Laplace transform) คือการแปลงเชิงปริพันธ์ที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง แสดงอยู่ในรูป $\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$ การแปลงลาปลาสจะทำให้เกิดความเป็นเชิงเส้นของ f(t) ซึ่งค่า t เป็นอาร์กิวเมนต์จริง(t ≥ 0) จะแปลงไปอยู่ในรูปฟังก์ชัน F(s) โดย s เป็นอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อน การแปลงนี้เป็นการทำฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่สำคัญมากในการใช้งานในทางปฏิบัติ คู่ฟังก์ชัน f(t) กับ F(s) นั้นจับคู่กันในตาราง การแปลงลาปลาสถูกใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติที่มันมีความสัมพันธ์และการดำเนินการของฟังกันดังเดิม f(t) น้นสอดคล้องกับความสัมพันธ์กับการดำเนินการในรูปของ F(s) การแปลงลาปลาสถูกประยุกต์ใช้ในงานสำคัญมากมายที่เป็นแนวคิดทางวิทยาศาสตร์ สำหรับชื่อลาปลาสนี้มาจากชื่อของปีแยร์-ซีมง ลาปลาส ผู้ที่นำการแปลงนี้ไปใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น

การแปลงลาปลาสเกี่ยวข้องกับการแปลงฟูรีเย แต่ขณะที่การแปลงฟูรีเยนั้นใช้ในการแก้ฟังก์ชันหรือสัญญาณในโหมดของการสั่นสะเทือน

คุณสมบัติ

กำหนดให้ f(t) และ g(t) มีผลการแปลงลาปลาสเป็น F(s) และ G(s) ตามลำดับ:

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}$

$g(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}$

ตารางต่อไปนี้เป็นตารางคุณสมบัติของการแปลงลาปลาสด้านเดียว (unilateral Laplace transform):

คุณสมบัติของการแปลงลาปลาสด้านเดียว

	โดเมนเวลา	โดเมน 's'	หมายเหตุ
ภาวะเชิงเส้น (Linearity)	$af(t)+bg(t)\$	$aF(s)+bG(s)\$	สามารถพิสูจน์ได้โดยคุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของการหาปริพันธ์ (ปริพันธ์ผลบวกเท่ากับ ปริพันธ์ขององค์ประกอบย่อยของผลบวกนั้น)
อนุพันธ์เชิงความถี่ (Frequency differentiation)	$tf(t)\$	$-F'(s)\$	$F'\,$ เป็นอนุพันธอันดับแรกของ $F\,$.
อนุพันธ์เชิงความถี่ (Frequency differentiation)	$t^{n}f(t)\$	$(-1)^{n}F^{(n)}(s)\$	รูปแบบทั่วไปของอนุพันธอันดับ nth ของ F(s)
อนุพันธ์ (Differentiation)	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0)\$	สมมุติให้ ƒ เป็นฟังก์ชันที่อนุพันธได้ (differentiable function)
อนุพันธอันดับสอง (Differentiation)	$f''(t)\$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\$	สมมุติให้ ƒ มีอนุพันธอันดับสอง
อนุพันธอันดับใดๆ (Differentiation)	$f^{(n)}(t)\$	$s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)\$	สมมุติให้ ƒ มีอนุพันธอันดับ n ใดๆ
ปริพันธ์เชิงความถี่ (Frequency integration)	${\frac {f(t)}{t}}\$	$\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \$
ปริพันธ์ Integration	$\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)$	${1 \over s}F(s)$	$u(t)$ คือ ฟังก์ชันขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function) และ $(u*f)(t)$ คือสังวัตนาการ (convolution) ของ $u(t)$ และ $f(t)$
การขยายเชิงเวลา (Time scaling)	$f(at)\$	${\frac {1}{|a|}}F\left({s \over a}\right)$
การเลื่อนเชิงความถี่ (Frequency shifting)	$e^{at}f(t)\$	$F(s-a)\$
การเลื่อนเชิงเวลา (Time shifting)	$f(t-a)u(t-a)\$	$e^{-as}F(s)\$	$u(t)$ คือ ฟังก์ชันขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function)
การคูณ (Multiplication)	$f(t)g(t)\$	${\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \$	การหาปริพันธ์จะกระทำบนแกนแนวดิ่ง $Re(\sigma )=c$ ซึ่งอยู่ในขอบเขตการลู่เข้า (region of convergence) ของ F
สังวัตนาการ (Convolution)	$(f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau$	$F(s)\cdot G(s)\$	ในนิยามของการสังวัตนาการ เราสามรถกำหนดให้ ƒ(t) และ g(t) มีค่าเป็นศูนย์ได้ เมื่อ t < 0
สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (Complex conjugation)	$f^{*}(t)$	$F^{*}(s^{*})$
สหสัมพันธ์ไขว้ (Cross-correlation)	$f(t)\star g(t)$	$F^{*}(-s^{*})\cdot G(s)$
ฟังก์ชันคาบ (Periodic Function)	$f(t)\$	${1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt$	$f(t)$ เป็น ฟังก์ชันคาบ ของคาบ $T$ กล่าวคือ $f(t)=f(t+T),\;\forall t\geq 0$ เป็นการรวมการของคุณสมบัติการเลื่อนเชิงเวลาและคุณสมบัติของลำดับเรขาคณิต

เชิงอรรถ

• อาจพบเห็นการสะกดชื่อการแปลงลาปลาสอย่างอื่นเช่น การแปลงลาปลาซ, การแปลงลาพลาส, การแปลงลาพลาซ หรือใช้คำนำหน้าว่า ผลการแปลง–, การแปลงรูป–

อ้างอิง

• Arendt, Wolfgang; Batty, Charles J.K.; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2002), Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhäuser Basel, ISBN 3764365498.
• Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), Boston: McGraw-Hill, ISBN 0071160434.