เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค

(เปลี่ยนทางจาก การสลับเปลี่ยนสังยุค)

เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (อังกฤษ: conjugate transpose) ของเมทริกซ์ A มิติ m×n ซึ่งมีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน คือเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของเมทริกซ์ A ซึ่งเปลี่ยนสมาชิกทั้งหมดเป็นสังยุค เขียนแทนด้วยเมทริกซ์ A* หรือสามารถนิยามได้จาก

เมื่อ 1 ≤ in และ 1 ≤ jm และขีดเส้นตรงหมายถึงสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (อาทิ สังยุคของ a + bi คือ abi เป็นต้น)

นิยามดังกล่าวสามารถเขียนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังนี้

ซึ่ง คือเมทริกซ์สลับเปลี่ยน และ คือเมทริกซ์ที่มีสมาชิกเป็นสังยุค

ชื่ออื่นๆ ของเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคเช่น เมทริกซ์สลับเปลี่ยนเอร์มีเชียน (Hermitian transpose) เมทริกซ์สังยุคเอร์มีเชียน (Hermitian conjugate) ทรานสจูเกต (transjugate) หรือแม้แต่ เมทริกซ์ผูกพัน (adjoint matrix) ซึ่งคำสุดท้ายนี้อาจหมายถึงเมทริกซ์แอดจูเกต (adjugate matrix) ก็ได้ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคของ A สามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ได้อีกหลายรูปแบบ เช่น

ตัวอย่างแก้ไข

กำหนดให้เมทริกซ์ A

 

เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคของ A คือ

 

คุณสมบัติแก้ไข

  •   สำหรับเมทริกซ์ A และ B ใดๆ ที่มีมิติเท่ากัน
  •   สำหรับจำนวนเชิงซ้อน r และเมทริกซ์ A ใดๆ   ในที่นี้หมายถึงสังยุคของ r
  •   สำหรับเมทริกซ์ A มิติ m×n และเมทริกซ์ B มิติ n×p (สามารถคูณกันได้)
  •   สำหรับเมทริกซ์ A ใดๆ
  • ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสแล้ว   และ   (ดูเพิ่มที่ดีเทอร์มิแนนต์และรอยเมทริกซ์)
  • A* จะสามารถมีตัวผกผันได้ก็ต่อเมื่อ A มีตัวผกผัน ซึ่งในกรณีดังกล่าวเราจะได้ว่า  
  • ค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) ของเมทริกซ์ A* คือสังยุคของค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A

ดูเพิ่มแก้ไข

แหล่งข้อมูลอื่นแก้ไข