อสมการของมาร์คอฟ

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น อสมการของมาร์คอฟ เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ให้ขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มที่มีค่าบวกจะมีมากกว่าหรือเท่ากับจำนวนจริงบวกคงที่หนึ่งๆ ชื่อของอสมการตั้งตามนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียชื่อ อังเดร มาร์คอฟ

อสมการของมาร์คอฟมีใจความดังต่อไปนี้: ให้ $X\,$ เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าไม่เป็นลบและ $t\,$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่มากกว่าศูนย์ แล้ว

$\Pr[X\geq t]\leq {\frac {\mathrm {E} [X]}{t}}$

เห็นได้ว่า อสมการของมาร์คอฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นกับค่าคาดหมาย เนื่องจากตัวอสมการเองไม่ได้กำหนดว่าตัวแปรสุ่มต้องมีสมบัติพิเศษประการใดเลย ขอบเขตบนที่ได้จากอสมการของมาร์คอฟมักจะมีค่าสูงกว่าความเป็นจริงมาก อย่างไรก็ดีเราสามารถใช้อสมการของมาร์คอฟพิสูจน์ข้อความทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่ให้ขอบเขตบนที่แน่นขึ้นได้ เช่น อสมการของเชบิเชฟ และขอบเขตเชอร์นอฟ

การพิสูจน์

กำหนดฟังก์ชัน $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ดังต่อไปนี้ $f(x)=1$ เมื่อ $x\geq t$ มิฉะนั้น $f(x)=0$ เราได้ว่า

$\mathrm {E} [f(X)]=\Pr[X\geq t]$

เนื่องจาก $f(x)\leq x/t$ สำหรับทุกๆ จำนวนจริง $x$ เราได้ว่า

$\Pr[X\geq t]\leq \mathrm {E} [X/t]={\frac {\mathrm {E} [X]}{t}}$

ตามต้องการ

อีกบทพิสูจน์หนึ่ง

ในกรณีที่ตัวแปรสุ่ม $X$ เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง และมีค่าเป็นจำนวนเต็ม บทพิสูจน์ที่ใช้การคำนวณอย่างง่ายด้านล่างอาจเข้าใจได้ง่ายกว่า

จากนิยามของค่าคาดหมาย และเงื่อนไขที่ว่าตัวแปรสุ่ม $X$ มีค่าไม่เป็นลบ เราได้ว่า

$\mathrm {E} [X]=\sum _{i=0}^{\infty }i\cdot \Pr[X=i]$

$=\sum _{i=0}^{t-1}i\cdot \Pr[X=i]+\sum _{i=t}^{\infty }i\cdot \Pr[X=i]$     (กระจายเทอม โดยแยกกรณี $i<t$ กับ $i\geq t$)

$\geq \sum _{i=t}^{\infty }i\cdot \Pr[X=i]$     (ทิ้งเทอมหน้าซึ่งมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์)

$\geq \sum _{i=t}^{\infty }t\cdot \Pr[X=i]$     (เนื่องจาก $i\geq t$)

$=t\cdot \left(\sum _{i=t}^{\infty }\cdot \Pr[X=i]\right)$     (แยก $t$)

$=t\cdot \Pr[X\geq t]$.     (เนื่องจากเป็นผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน)

นั่นคือเราได้ $\Pr[X\geq t]\leq \mathrm {E} [X]/t$ ตามต้องการ

รูปแบบอื่นของ อสมการของมาร์คอฟ

บางครั้งเราอาจพบเห็น การใช้อสมการของมาร์คอฟ ในรูปแบบอื่น ๆ เช่น

เมื่อ $g(x)\uparrow ,g(x)\geq 0$ คือ เป็นฟังก์ชันที่มีค่าไม่เป็นลบ และ มีค่าไม่ลดลงแล้ว

$\Pr[X\geq t]\leq {\frac {\mathrm {E} [g(X)]}{g(t)}}$

ซึ่งในกรณีที่ $g(x)=e^{tx}$ จะนำไปสู่ ขอบเขตเชอร์นอฟ