ในทางคณิตศาสตร์ อนุกรมสลับ (อังกฤษ: Alternating series) คืออนุกรมอนันต์ที่อยู่ในรูป

หรือ

โดยที่ an > 0 สำหรับทุก n แต่ละพจน์ของอนุกรมจะมีเครื่องหมายบวกและลบสลับกัน เช่นเดียวกับอนุกรมอื่นๆ อนุกรมสลับจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อลำดับของผลบวกจำกัดพจน์ลู่เข้า[1]

ตัวอย่างแก้ไข

 

 

 

ถ้าเอาแฟกเตอร์ (-1)n ซึ่งทำให้อนุกรมทั้งสองนี้เป็นอนุกรมสลับออก จะได้ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก sinh และ cosh ตามลำดับ

การทดสอบอนุกรมสลับแก้ไข

การทดสอบอนุกรมสลับ (อังกฤษ: Alternating series test) เป็นทฤษฎีบทที่กล่าวว่า อนุกรมสลับใด ๆ จะลู่เข้า ถ้าลำดับของ an ลู่เข้าหา 0 ทางเดียว (นั่นคือเป็นลำดับไม่เพิ่ม)

ข้อพิสูจน์: สมมติให้ an ลู่เข้าหา 0 และเป็นลำดับไม่เพิ่ม หาก m เป็นคี่และ m < n แล้ว จากการคำนวณจะได้ค่าประมาณว่า

 

ซึ่งเนื่องจาก an เป็นลำดับไม่เพิ่ม พจน์   ในผลบวกจึงเป็นลบทุกพจน์ จึงได้ว่า   ในทำนองเดียวกันเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า   ซึ่งเนื่องจาก am ลู่เข้าหา 0 จะได้ว่าลำดับของผลรวมจำกัด Sm เป็นลำดับโคชี ซึ่งลู่เข้า สำหรับกรณี m เป็นคู่ พิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกัน

อ้างอิงแก้ไข

  1. H. Grauert, I. Lieb: Differential- und Integralrechnung I, Springer-Verlag 1976, ISBN 0-387-07574-7, บทที่ 3, นิยามที่ 3.1 (เยอรมัน)