ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

สำหรับบทนำที่เข้าใจง่ายกว่าและใช้ศัพท์เทคนิคน้อยกว่าของหัวข้อนี้ ดูที่ บทนำทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

สัมพัทธภาพทั่วไปหรือทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (อังกฤษ: general relativity หรือ general theory of relativity) เป็นทฤษฎีความโน้มถ่วงแบบเรขาคณิตซึ่งจัดพิมพ์ใน ค.ศ. 1916 และเป็นการพรรณนาความโน้มถ่วงปัจจุบันในวิชาฟิสิกส์สมัยใหม่ สัมพัทธภาพทั่วไปวางนัยทั่วไปกว่าสัมพัทธภาพพิเศษและกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตัน โดยอธิบายความโน้มถ่วงโดยรวมว่าเป็นคุณสมบัติเรขาคณิตของปริภูมิและเวลา หรือปริภูมิ-เวลา โดยเฉพาะอย่างยิ่งว่า ความโค้งของปริภูมิ-เวลาสัมพันธ์โดยตรงกับพลังงานและโมเมนตัมของสสารและรังสีที่มีอยู่ทั้งหมด ความสัมพันธ์นี้เจาะจงโดยสมการสนามไอน์สไตน์ ซึ่งเป็นระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

การทดสอบสัมพัทธภาพทั่วไปความเที่ยงสูงโดยยานอวกาศกัสซีนี–เฮยเคินส์ สัญญาณวิทยุที่ส่งระหว่างโลกและยาน (คลื่นสีเขียว) ถูกหน่วงโดยการบิดของปริภูมิ-เวลา (เส้นสีน้ำเงิน) เนื่องจากมวลของดวงอาทิตย์

การทำนายของสัมพัทธภาพทั่วไปบางอย่างแตกต่างมากจากการทำนายของฟิสิกส์ดั้งเดิม โดยเฉพาะที่เกี่ยวกับการผ่านของเวลา เรขาคณิตของปริภูมิ การเคลื่อนที่ของเทหวัตถุ ในการตกอิสระ และการแพร่กระจายของแสง ตัวอย่างความต่างเหล่านี้เช่น การเปลี่ยนขนาดของเวลาเชิงโน้มถ่วง เลนส์ความโน้มถ่วง การเคลื่อนไปทางแดงเชิงโน้มถ่วงของแสง และการเปลี่ยนขนาดของเวลาเชิงโน้มถ่วง การทำนายของสัมพัทธภาพทั่วไปจนปัจจุบันได้รับการยืนยันจากการสังเกตและทดลองทั้งหมด แม้สัมพัทธภาพทั่วไปมิใช่เพียงทฤษฎีความโน้มถ่วงสัมพัทธนิยมทฤษฎีเดียวเท่านั้น แต่ก็เป็นทฤษฎีง่ายที่สุดซึ่งสอดคล้องกับข้อมูลเชิงทดลอง อย่างไรก็ตามยังเหลือคำถามซึ่งไม่มีคำตอบ โดยข้อที่เป็นหลักมูลที่สุดคือ ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปจะสามารถเข้ากับกฎฟิสิกส์ควอนตัมเพื่อสร้างทฤษฎีความโน้มถ่วงควอนตัมที่สมบูรณ์และไม่ขัดแย้งในตัวเองได้อย่างไร

ทฤษฎีของไอน์สไตน์มีความหมายสำคัญทางฟิสิกส์ดาราศาสตร์ เช่น แสดงให้เห็นถึงการมีหลุมดำ บริเวณของปริภูมิซึ่งปริภูมิและเวลาบิดเบี้ยวจนไม่มีสิ่งใดแม้กระทั่งแสงสามารถหนีออกมาได้ โดยเป็นจุดจบของดาวฤกษ์ขนาดยักษ์ มีหลักฐานมากพอว่า รังสีเข้มซึ่งแผ่จากวัตถุทางดาราศาสตร์บางชนิดเนื่องมาจากหลุมดำ เช่น ไมโครควาซาร์ (microquasar) และนิวเคลียสดาราจักรกัมมันต์ ซึ่งเกิดจากการมีหลุมดำดาวฤกษ์และหลุมดำมวลยวดยิ่งตามลำดับ การโค้งของแสงโดยความโน้มถ่วงสามารถนำไปสู่ปรากฏการณ์เลนส์ความโน้มถ่วง ซึ่งทำให้สามารถเห็นภาพหลายภาพของวัตถุดาราศาสตร์ที่ระยะทางเท่ากันหลายภาพบนฟ้า สัมพัทธภาพทั่วไปยังทำนายการมีคลื่นความโน้มถ่วง ซึ่งการสังเกตคลื่นเหล่านี้โดยตรงเป็นเป้าหมายของโครงการอย่าง หอสังเกตการณ์คลื่นความโน้มถ่วงโดยใช้อินเตอร์เฟอโรมิเตอร์ชนิดเลเซอร์ (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory: LIGO) ของนาซา สายอากาศอวกาศอินเตอร์เฟอโรเมทรีเลเซอร์ (Laser Interferometer Space Antenna: LISA) ของอีเอสเอ และแถวลำดับตั้งจังหวะพัลซาร์ (pulsar timing array) จำนวนมากซึ่งในปัจจุบัน LIGO ได้สังเกตพบคลื่นความโน้มถ่วงแล้ว นอกจากนี้ สัมพัทธภาพทั่วไปยังเป็นพื้นฐานของแบบจำลองจักรวาลวิทยาเอกภาพขยายต่อเนื่องปัจจุบัน

จากกลศาสตร์แบบฉบับสู่สัมพัทธภาพทั่วไป

สมการของไอน์สไตน์

หลังคิดได้ผลของความโน้มถ่วงในด้านสัมพัทธนิยมและเรขาคณิตแล้ว ยังคงมีคำถามว่าด้วยที่มาของความโน้มถ่วงอยู่ ในความโน้มถ่วงแบบนิวตัน ที่มานั้นคือมวล ในสัมพัทธภาพพิเศษ กลายเป็นว่ามวลเป็นส่วนหนึ่งของปริมาณทั่วไปกว่า เรียก เทนเซอร์พลังงาน–โมเมนตัม (energy–momentum tensor) ซึ่งมีทั้งความหนาแน่นของพลังงานและโมเมนตัม ตลอดจนความเครียด (คือ ความดันและความเฉือน) โดยใช้หลักการสมมูล เทนเซอร์นี้จะสามารถวางนัยทั่วไปในปริภูมิ-เวลาโค้งได้ จากการเทียบเคียงกับความโน้มถ่วงแบบนิวตันเชิงเรขาคณิต จึงเป็นธรรมชาติที่จะสันนิษฐานว่าสมการฟีลด์สำหรับความโน้มถ่วงเชื่อมเทนเซอร์นี้กับเทนเซอร์ริตชี (Ricci tensor) ซึ่งอธิบายผลขึ้นลงชั้นเฉพาะหนึ่ง คือ การเปลี่ยนแปลงปริมาตรของกลุ่มหมอก (cloud) ของอนุภาคทดสอบขนาดเล็กซึ่งเริ่มจากสภาวะนิ่งแล้วตกอิสระ ในสัมพัทธภาพพิเศษ การอนุรักษ์พลังงาน-โมเมนตัมสมนัยกับข้อความว่าเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัมปลอดไดเวอร์เจนซ์ เช่นเดียวกัน สูตรนี้สามารถวางนัยทั่วไปในปริภูมิ-เวลาโค้งโดยการแทนอนุพันธ์ย่อยด้วยอนุพันธ์แมนิโฟลด์ (manifold) โค้งซึ่งเป็นอนุพันธ์แปรปรวนร่วมเกี่ยวที่ศึกษาในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ด้วยเงื่อนไขที่เพิ่มขึ้นมานี้ ไดเวอร์เจนซ์แปรปรวนร่วมเกี่ยวของเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัม และอะไรก็ตามที่อยู่อีกข้างหนึ่งของสมการย่อมเป็นศูนย์ ชุดของสมการที่ง่ายที่สุดนี้เป็นสิ่งที่เรียกว่าสมการสนามของไอน์สไตน์:

สมการสนามของไอน์สไตน์ $G_{\mu \nu }\equiv R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\,$

ข้างซ้ายมือเป็นเทนเซอร์ไอน์สไตน์ ซึ่งเป็นการรวมเทนเซอร์ริตชีแบบปลอดไดเวอร์เจนซ์เฉพาะ $R_{\mu \nu }$ กับเทนเซอร์เมตริก โดยที่ $G_{\mu \nu }$ สมมาตร โดยเฉพาะ

$R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }\,$

เป็นสเกลาร์ความโค้ง เทนเซอร์ริตชีเองสัมพันธ์กับเทนเซอร์ความโค้งรีมันน์ (Riemann curvature tensor) ซึ่งมีนัยทั่วไปกว่า โดยที่

$R_{\mu \nu }={R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }\,$

ข้างขวามือ $T_{\mu \nu }$ เป็นเทนเซอร์พลังงาน–โมเมนตัม เทนเซอร์ทั้งหมดเขียนด้วยสัญกรณ์ดัชนีนามธรรม (abstract index notation) ในการเทียบเคียงการทำนายของทฤษฎีดังกล่าวกับผลการสังเกตสำหรับวงโคจรดาวเคราะห์ (หรือเทียบเท่าเงื่อนไขว่าในกรณีความโน้มถ่วงอ่อน ความเร็วต่ำจะต้องตรงกับกลศาสตร์แบบนิวตัน) จะได้ค่าคงตัวความได้สัดส่วน (proportionality constant) เป็น κ = 8πG/c⁴ โดยที่ G เป็นค่าคงตัวความโน้มถ่วง และ c เป็นความเร็วแสง เมื่อไม่มีมวล เทนเซอร์พลังงาน–โมเมนตัมจะหมดไป ผลคือ สมการไอน์สไตน์สุญญากาศ (vacuum Einstein equation)

$R_{\mu \nu }=0\,$

นอกเหนือจากสัมพัทธภาพทั่วไป ยังคงมีทฤษฎีตัวเลือกอื่น ๆ ซึ่งสร้างบนพื้นฐานเดียวกัน ซึ่งมีกฎและ/หรือค่าคงตัวเพิ่มเติม นำไปสู่สมการฟีลด์ต่าง ๆ ตัวอย่างเช่น Brans–Dicke theory, teleparallelism และ Einstein–Cartan theory

บทนิยามและการประยุกต์พื้นฐาน

สัมพัทธภาพทั่วไปเป็นทฤษฎีความโน้มถ่วงเมตริก โดยมีหัวใจเป็นสมการของไอน์สไตน์ ซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างเรขาคณิตของแมนิโฟลด์สี่มิติแบบรีมันน์เทียม (pseudo-Riemannian) ซึ่งเป็นตัวแทนของปริภูมิ-เวลาและพลังงาน-โมเมนตัมซึ่งอยู่ในปริภูมิ-เวลานั้น ปรากฏการณ์ซึ่งในกลศาสตร์แบบฉบับให้เหตุผลว่าเป็นกิริยา (action) ของแรงโน้มถ่วง (เช่น การตกอิสระ การเคลื่อนที่แบบโคจร และแนววิถีอวกาศยาน) สอดคล้องกับการเคลื่อนที่เฉื่อยภายในเรขาคณิตโค้งของปริภูมิ-เวลาในสัมพัทธภาพทั่วไป โดยไม่มีแรงโน้มถ่วงไปเบนวัตถุจากวิถีธรรมชาติอันเป็นเส้นตรงของมัน หากแต่ความโน้มถ่วงสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงคุณสมบัติของปริภูมิและเวลา ซึ่งเปลี่ยนวิถีเส้นตรงที่สุดที่เป็นไปได้ซึ่งวัตถุจะดำเนินโดยธรรมชาติเป็นลำดับ ส่วนความโค้งนั้นเกิดจากพลังงาน–โมเมนตัมของสสารอีกทอดหนึ่ง ถอดความจากนักสัมพัทธนิยม จอห์น อาร์ชิบัลด์ วีเลอร์ (John Archibald Wheeler) ปริภูมิ-เวลาบอกสสารว่าจะเคลื่อนที่อย่างไร สสารบอกปริภูมิ-เวลาว่าจะโค้งอย่างไร

ขณะที่สัมพัทธภาพทั่วไปแทนศักยะความโน้มถ่วงสเกลาร์ของกลศาสตร์แบบฉบับด้วยเทนเซอร์ค่าลำดับขั้นสอง (rank-two) สมมาตร แต่เทนเซอร์ค่าลำดับขั้นสองสมมาตรลดเหลือศักยะความโน้มถ่วงสเกลาร์ในบางกรณี สำหรับสนามความโน้มถ่วงอ่อนและความเร็วต่ำสัมพัทธ์กับความเร็วแสง การทำนายของทฤษฎีนี้บรรจบกับการทำนายของกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตัน

เพราะสัมพัทธภาพทั่วไปสร้างโดยใช้เทนเซอร์ จึงแสดงความแปรปรวนร่วมเกี่ยวทั่วไป โดยกฎของมัน และกฎอื่นที่คิดภายในกรอบสัมพัทธนิยมทั่วไป ยึดรูปแบบเดียวกันในทุกระบบพิกัด ยิ่งไปกว่านั้น ทฤษฎีนี้ไม่มีโครงสร้างพื้นหลังเรขาคณิตไม่แปรเปลี่ยนใด ๆ คือ ไม่ขึ้นกับพื้นหลัง ฉะนั้นมันสอดคล้องกับหลักการทั่วไปสัมพัทธนิยมที่เข้มงวดกว่า กล่าวคือ กฎฟิสิกส์เป็นเหมือนกับสำหรับผู้สังเกตทุกคน เฉพาะที่ดังแสดงในหลักการสมมูล ปริภูมิ-เวลาเป็นแบบมินคอฟสกี และกฎฟิสิกส์แสดงความยืนยงลอเรนตซ์เฉพาะที่ (local Lorentz invariance)

ดูเพิ่ม

• บทนำทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป