ภาวะคู่กันปวงกาเร

ในคณิตศาสตร์ ภาวะคู่กันปวงกาเร (อังกฤษ: Poincaré duality) เป็นทฤษฎีบทพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับโครงสร้างของกรุปฮอมอโลยีและกรุปคอฮอมอโลยีของแมนิโฟลด์ ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าถ้า $M$ เป็นแมนิโฟลด์มิติ $n$ ที่เป็นแมนิโฟลด์ปิด (เป็นแมนิโฟลด์กระชับและไม่มีขอบ) และกำหนดทิศทางได้ แล้วกรุปคอฮอมอโลยีตัวที่ $k$ ของ $M$ จะสมสัณฐานกับกรุปฮอมอโลยีตัวที่ $n-k$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $k$ หรือเขียนได้ว่า

$H^{k}(M)\cong H_{n-k}(M)$

ภาวะคู่กันปวงกาเรเป็นจริงสำหรับทุกริงสัมประสิทธิ์ ตราบเท่าที่เลือกใช้การกำหนดทิศทางบนแมนิโฟลด์ที่สอดคล้องกับริงนั้น และเนื่องจากทุกแมนิโฟลด์มีการกำหนดทิศทางเพียงหนึ่งเดียวมอดุโล 2 แล้วจะได้ว่าภาวะคู่กันปวงการเรเป็นจริงมอดุโลสองโดยไม่ต้องกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติม

ประวัติ

รูปแบบหนึ่งของภาวะคู่กันปวงกาเรถูกกล่าวขึ้นเป็นครั้งแรกโดย อ็องรี ปวงกาเร ในปีค.ศ. 1893 โดยไม่ได้ให้บทพิสูจน์ ปวงกาเรตั้งทฤษฎีบทนี้ในเทอมของจำนวนเบ็ตตีว่าจำนวนเบ็ตตีตัวที่ $k$ และ $n-k$ ของแมนิโฟลด์ปิด (แมนิโฟลด์กระชับและไม่มีขอบ) และกำหนดทิศทางได้มิติ $n$ จะเท่ากันเสมอ แนวคิดเรื่องคอฮอมอโลยีต้องรอไปอีก 40 ปีจากขณะนั้นถึงจะชัดเจนสมบูรณ์ ในปีค.ศ. 1895 ในรายงานวิจัย Analysis Situs ปวงกาเรได้พยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ผ่านทฤษฎีการตัดขวางเชิงทอพอโลยี (topological intersection theory) ซึ่งปวงกาเรเป็นผู้ประดิษฐ์ขึ้นมา แต่คำวิจารณ์จาก Poul Heegaard ชี้ให้ปวงกาเรเห็นว่าบทพิสูจน์ของเขาผิดพลาด ในส่วนเพิ่มเติมของรายงาน Analysis Situs ที่ตีพิมพ์ภายหลัง ปวงกาเรให้บทพิสูจน์ใหม่ผ่าน dual triangulations

ภาวะคู่กันปวงกาเรปรากฎในรูปแบบปัจจุบันภายหลังแนวคิดเรื่องคอฮอมอโลยีปรากฎขึ้นในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 1930 เมื่อ เอดูอาร์ด เช็ค และ แฮสเลอร์ วิทนีร์ นิยามผลคูณถ้วย (cup product) และผลคูณหมวก (cap product) จากนั้นใช้แนวคิดทั้งสองเพื่อเขียนภาวะคู่กันปวงกาเรในรูปแบบใหม่

ภาวะคู่กันปวงกาเรในรูปแบบปัจจุบัน

ภาวะคู่กันปวงกาเรในรูปแบบปัจจุบันนิยมกล่าวผ่านฮอมอโลยีและคอฮอมอโลยี

ภาวะคู่กันปวงกาเร — ให้ $M$ เป็นแมนิโฟลด์มิติ $n$ ที่เป็นแมนิโฟลด์ปิดและกำหนดทิศทางได้ แล้วจะมีฟังก์ชันสมสัณฐานระหว่างกรุป $H^{k}(M,\mathbb {Z} )\to H_{n-k}(M,\mathbb {Z} )$ ในรูปแบบบัญญัติสำหรับทุกจำนวนเต็ม $k$

เพื่อนิยามฟังก์ชันสมสัณฐานดังกล่าว เราเลือกชั้นมูลฐาน (fundamental class) $[M]$ ของ $M$ ซึ่งนิยามถ้า $M$ กำหนดทิศทางได้ จะได้ว่าฟังก์ชันสมสัณฐานเป็นการส่งสมาชิก $\alpha \in H^{k}(M)$ ไปยังผลคูณหมวก $[M]\frown \alpha$.

กรุปฮอมอโลยีและกรุปคอฮอมอโลยีนิยามให้เป็นศูนย์สำหรับดีกรีเป็นจำนวนเต็มลบ ดังนั้นภาวะคู่กันของปวงกาเรจึงบ่งว่ากรุปฮอมอโลยีและกรุปคอฮอมอโลยีของแมนิโฟลด์มิติ $n$ ที่เป็นแมนิโฟลด์ปิดและกำหนดทิศทางได้จะเป็นศูนย์สำหรับทุกดีกรีที่สูงกว่า $n$

ในรูปแบบข้างต้นกรุปฮอมอโลยีและกรุปคอฮอมอโลยีมีค่าเป็นจำนวนเต็ม แต่ภาวะสมสัณฐาณนี้เป็นจริงไม่ว่าใช้ริงสัมประสิทธิ์ใด ๆ ในกรณีที่แมนิโฟลด์กำหนดทิศทางได้ไม่กระชับ จะต้องเปลี่ยนฮอมอโลยีเป็น Borel–Moore homology

$H^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}^{BM}(X)$

หรือเปลี่ยนคอฮอมอโลยีเป็นคอฮอมอโลยีมีส่วนค้ำจุนกระชับ (cohomology with compact support)

$H_{c}^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}(X)$

บทประยุกต์กับแคแรกเทอริสติกออยเลอร์

ผลที่ตามมาโดยทันทีจากภาวะคู่กันปวงกาเรคือทุกแมนิโฟลด์ปิดและกำหนดทิศทางได้ $M$ ที่มีมิติเป็นจำนวนเต็มคี่ จะมีแคแรกเทอริสติกออยเลอร์เท่ากับศูนย์ และจะได้ตามมาว่าทุกแมนิโฟลด์มีขอบเขตจะมีแคแรกเทอริสติกออยเลอร์เป็นเลขคู่

การวางนัยทั่วไป

ภาวะคู่กันปวงกาเร-เล็ฟเชตซ์ (Poincaré–Lefschetz duality theorem) เป็นการวางนัยทั่วไปของภาวะคู่กันปวงกาเรสำหรับแมนิโฟลด์ที่มีขอบเขต ในกรณีที่แมนิโฟลด์กำหนดทิศทางไม่ได้ เราสามารถให้ข้อมูลเกี่ยวกับภาวะคู่กันได้โดยพิจารณาชีพของการกำหนดทิศทางเฉพาะที่ เรียกว่า ภาวะคู่กันปวงกาเรทวิสต์ (twist Poincare duality)

อ่านเพิ่ม

• Blanchfield, Richard C. (1957), "Intersection theory of manifolds with operators with applications to knot theory", Annals of Mathematics, 65 (2): 340–356, doi:10.2307/1969966, JSTOR 1969966, MR 0085512
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: Wiley, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523