ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ค่าสัมบูรณ์"
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
ล ย้อนการแก้ไขของ 27.55.70.197 (พูดคุย) ไปยังรุ่นก่อนหน้าโดย Pphongpan355 ป้ายระบุ: ย้อนรวดเดียว |
ไม่มีความย่อการแก้ไข |
||
บรรทัด 2:
[[ไฟล์:Absolute value.svg|thumb|250px|กราฟของฟังก์ชันค่าสมบูรณ์]]
ใน[[คณิตศาสตร์]] '''ค่าสัมบูรณ์''' หรือ '''มอดุลัส''' ({{lang-en|absolute value หรือ modulus}})ของจำนวนจริง ''x'' ใด ๆ
นอกจากนี้ยังมีการขยายนัยทั่วไปของค่าสัมบูรณ์ไปสู่ค่าสมบูรณ์ของ[[จำนวนเชิงซ้อน]] [[จำนวนควอเตอร์เนียน]] [[ริงเรียงอันดับ]] [[ฟีลด์]] [[ปริภูมิเวกเตอร์]] และนำไปสู่[[นอร์ม]]เหนือปริภูมิเวกเตอร์
นิยามได้ดังนี้: สำหรับ[[จำนวนจริง]]ใดๆ ''a'', '''ค่าสัมบูรณ์'''ของ ''a'' เขียนแทนด้วย |''a''| เท่ากับ ''a'' ถ้า ''a'' ≥ 0 และเท่ากับ −''a'' ถ้า ''a'' < 0 (ดูเพิ่มเติม: [[อสมการ]]) |''a''| จะไม่เป็นจำนวนลบ ค่าสัมบูรณ์จะเป็น[[จำนวนบวก]]หรือ[[ศูนย์]]เสมอ นั่นคือจะไม่มีค่า ''a'' ที่ |''a''| < 0▼
== นิยามบนจำนวนจริง ==
▲
ค่าสัมบูรณ์สามารถถือว่าเป็น''ระยะทาง''ระหว่างจำนวนนั้นกับศูนย์
ค่าสัมบูรณ์มีสมบัติดังนี้▼
# |''a''+''b''| ≤ |''a''| + |''b''| ([[อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม]])▼
# <math>\left| a \right| = \sqrt{a^2}</math>▼
▲ค่าสัมบูรณ์มีสมบัติดังนี้ สำหรับจำนวนจริง <math>a, b, c</math> ใด ๆ
:{|
|-
| style="width: 250px" |<math>|a| \ge 0 </math>
| ความไม่เป็นลบ (Non-negativity)
|-
|<math>|a| = 0 \iff a = 0 </math>
|สมบัติความเป็นบวกแน่นอน (Positive-definiteness)
|-
|สมบัติแยกคูณ (Multiplicativity)
|-
|<math>|a+b| \le |a| + |b| </math>
| สมบัติ [[Subadditivity]] หรือเรียกว่า[[อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม]]
|}
สมบัติข้างต้นเป็นสมบัติพื้นฐานที่ใช้ในการนิยามค่าสัมบูรณ์ในกรณีทั่วไป สมบัติด้านล่างเป็นผลจากสมบัติข้างต้นทั้งสี่ข้อ
:{|
|-
| style="width:250px" |<math>\bigl| \left|a\right| \bigr| = |a|</math>
|[[Idempotence|สมบัตินิจพล]] (Idempotence)
|-
| style="width:250px" |<math>\left|-a\right| = |a|</math>
▲== ค่าสัมบูรณ์และ[[จำนวนเชิงซ้อน]] ==
|ความสมมาตรผ่านการสะท้อน หรือ ความเป็นฟังก์ชันคู่
|-
|<math>|a - b| \le |a - c| + |c - b| </math>
|-
|<math>\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}\ </math> (เมื่อ <math>b \ne 0</math>)
|สมบัติการแยกหาร
|-
|<math>|a-b| \geq \bigl| \left|a\right| - \left|b\right| \bigr| </math>
|อสมการอิงรูปสามเหลี่ยมย้อนกลับ
|}
สมบัติที่สำคัญอีกสองข้อของค่าสัมบูรณ์มีดังนี้
:<math>|a| \le b \iff -b \le a \le b </math>
:<math>|a| \ge b \iff a \le -b\ </math> or <math>a \ge b </math>
ซึ่งใช้ในการแก้อสมการที่เกี่ยวข้องกับค่าสัมบูรณ์ อาทิ
:{|
|-
|<math>|x-3| \le 9 </math>
|<math>\iff -9 \le x-3 \le 9 </math>
|-
|
|<math>\iff -6 \le x \le 12 </math>
|}
== ค่าสัมบูรณ์บนจำนวนเชิงซ้อน ==
:สำหรับ[[จำนวนเชิงซ้อน]] <math>z = x + yi</math> ใด ๆ เมื่อ <math>x, y\in\R</math> เป็นจำนวนจริง จะนิยามค่าสัมบูรณ์หรือมอดุลัสของ <math>z</math> ได้ดังนี้
:<math>|z| = \sqrt{[\operatorname{Re}(z)]^2 + [\operatorname{Im}(z)]^2}=\sqrt{x^2 + y^2}</math>
เมื่อ Re(z) แทนส่วนจริง และ Im(z) แทนส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z
[[หมวดหมู่:ระบบเลข]]
[[หมวดหมู่:ฟังก์ชันพิเศษมูลฐาน]]
|