ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ค่าสัมบูรณ์"

เพิ่มขึ้น 1,855 ไบต์ ,  7 เดือนที่ผ่านมา
ไม่มีคำอธิบายอย่างย่อ
(ย้อนการแก้ไขของ 27.55.70.197 (พูดคุย) ไปยังรุ่นก่อนหน้าโดย Pphongpan355)
ป้ายระบุ: ย้อนรวดเดียว
ไม่มีความย่อการแก้ไข
[[ไฟล์:Absolute value.svg|thumb|250px|กราฟของฟังก์ชันค่าสมบูรณ์]]
 
ใน[[คณิตศาสตร์]] '''ค่าสัมบูรณ์''' หรือ '''มอดุลัส''' ({{lang-en|absolute value หรือ modulus}})ของจำนวนจริง ''x'' ใด ๆ ใน[[คณิตศาสตร์]] คือ ผลต่างระหว่างจำนวนนั้นกับ 0 พูดง่ายๆคือหรืออีกนัยหนึ่ง ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนที่ไม่มีใด ๆ ได้จากการตัด[[เครื่องหมายลบ]]ทิ้ง ตัวอย่างเช่น ค่าสัมบูรณ์ของ 3 คือ 3 และค่าสัมบูรณ์ของ 3 และก็คือ -3 เช่นกัน
 
นอกจากนี้ยังมีการขยายนัยทั่วไปของค่าสัมบูรณ์ไปสู่ค่าสมบูรณ์ของ[[จำนวนเชิงซ้อน]] [[จำนวนควอเตอร์เนียน]] [[ริงเรียงอันดับ]] [[ฟีลด์]] [[ปริภูมิเวกเตอร์]] และนำไปสู่[[นอร์ม]]เหนือปริภูมิเวกเตอร์
== นิยาม ==
นิยามได้ดังนี้: สำหรับ[[จำนวนจริง]]ใดๆ ''a'', '''ค่าสัมบูรณ์'''ของ ''a'' เขียนแทนด้วย |''a''| เท่ากับ ''a'' ถ้า ''a''&nbsp;≥&nbsp;0 และเท่ากับ −''a'' ถ้า ''a''&nbsp;<&nbsp;0 (ดูเพิ่มเติม: [[อสมการ]]) |''a''| จะไม่เป็นจำนวนลบ ค่าสัมบูรณ์จะเป็น[[จำนวนบวก]]หรือ[[ศูนย์]]เสมอ นั่นคือจะไม่มีค่า ''a'' ที่ |''a''|&nbsp;<&nbsp;0
 
== นิยามบนจำนวนจริง ==
ค่าสัมบูรณ์สามารถถือว่าเป็น''ระยะทาง''ของจำนวนนั้นจากศูนย์ สัญกรณ์ของ[[ระยะทาง]]ในคณิตศาสตร์มักเขียนในรูปค่าสัมบูรณ์อยู่เสมอ เมื่อจำนวนจริงถูกพิจารณาเหมือนเป็นเวกเตอร์หนึ่งมิติ ค่าสัมบูรณ์คือ[[ขนาด]] และ [[p-นอร์ม]]สำหรับ p ใดๆ ที่ตัวประกอบคงที่ ทุกๆนอร์มใน '''R'''<sup>1</sup> จะเท่ากับค่าสัมบูรณ์: ||x||=||1||•|x|
นิยามได้ดังนี้: สำหรับ[[จำนวนจริง]]ใดๆ ''a'' ใดๆ , '''ค่าสัมบูรณ์'''ของ ''a'' เขียนแทนด้วย |''a''| เท่ากับ ''a'' ถ้า ''a''&nbsp;≥&nbsp;0 และเท่ากับ −''a'' ถ้า ''a''&nbsp;<&nbsp;0 (ดูเพิ่มเติม: [[อสมการ]]) |''a''| จะไม่เป็นจำนวนลบ ค่าสัมบูรณ์จะเป็น[[จำนวนบวก]]หรือ[[ศูนย์]]เสมอ ไม่เป็นจำนวนลบ นั่นคือจะไม่มีค่า ''a'' ที่ |''a''|&nbsp;<&nbsp;0
 
ค่าสัมบูรณ์สามารถถือว่าเป็น''ระยะทาง''ระหว่างจำนวนนั้นกับศูนย์
== สมบัติ ==
ค่าสัมบูรณ์มีสมบัติดังนี้
# |''a''| ≥ 0
# |''a''| = 0 [[ก็ต่อเมื่อ]] ''a'' = 0.
# |''ab''| = |''a''||''b''|
# |''a/b''| = |''a''| / |''b''| (ถ้า ''b'' ≠ 0)
# |''a''+''b''| ≤ |''a''| + |''b''| ([[อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม]])
# |''a''−''b''| ≥ <font size="+1">|</font>|''a''| − |''b''|<font size="+1">|</font>
# <math>\left| a \right| = \sqrt{a^2}</math>
# |''a''| ≤ ''b'' ก็ต่อเมื่อ −''b'' ≤ ''a'' ≤ ''b''
# |''a''| ≥ ''b'' ก็ต่อเมื่อ ''a'' ≤ −''b'' '''หรือ''' a ≥ b
 
=== สมบัติของค่าสัมบูรณ์และ[[บนจำนวนเชิงซ้อน]]จริง ===
คุณสมบัติสองอันสุดท้าย ใช้ในการแก้อสมการอยู่เสมอ ตัวอย่างเช่น
ค่าสัมบูรณ์มีสมบัติดังนี้ สำหรับจำนวนจริง <math>a, b, c</math> ใด ๆ
:|''x'' − 3| ≤ 9
:−9 ≤ ''x''−3 ≤ 9
:−6 ≤ ''x'' ≤ 12
"x" = [-6,12]
 
:{|
|-
| style="width: 250px" |<math>|a| \ge 0 </math>
| ความไม่เป็นลบ (Non-negativity)
|-
|<math>|a| = 0 \iff a = 0 </math>
|สมบัติความเป็นบวกแน่นอน (Positive-definiteness)
|-
# |<math>|ab| = \left| a \right| = \sqrt{a^2}left|b\right|</math>
|สมบัติแยกคูณ (Multiplicativity)
|-
|<math>|a+b| \le |a| + |b| </math>
| สมบัติ [[Subadditivity]] หรือเรียกว่า[[อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม]]
|}
สมบัติข้างต้นเป็นสมบัติพื้นฐานที่ใช้ในการนิยามค่าสัมบูรณ์ในกรณีทั่วไป สมบัติด้านล่างเป็นผลจากสมบัติข้างต้นทั้งสี่ข้อ
 
:{|
:|''x'' − 3| ≥ 9
|-
: ''x'' − 3 ≤ -9 U ''x'' − 3 ≥ 9
| style="width:250px" |<math>\bigl| \left|a\right| \bigr| = |a|</math>
: ''x'' ≤ -6 U ''x'' ≥ 12
|[[Idempotence|สมบัตินิจพล]] (Idempotence)
"x" = (-infinity,-6] U [12,infinity)
|-
 
| style="width:250px" |<math>\left|-a\right| = |a|</math>
== ค่าสัมบูรณ์และ[[จำนวนเชิงซ้อน]] ==
|ความสมมาตรผ่านการสะท้อน หรือ ความเป็นฟังก์ชันคู่
<math>\mbox{if }c = a + bi \mbox{ then }|c| = \sqrt{a^2 + b^2}\,\!</math> (มอดุลัส)
|-
|<math>|a - b| \le |a - c| + |c - b| </math>
# |''a''+''b''| ≤ |''a''| + |''b''| ([[อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม]])
|-
|<math>\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}\ </math> (เมื่อ <math>b \ne 0</math>)
|สมบัติการแยกหาร
|-
|<math>|a-b| \geq \bigl| \left|a\right| - \left|b\right| \bigr| </math>
|อสมการอิงรูปสามเหลี่ยมย้อนกลับ
|}
 
สมบัติที่สำคัญอีกสองข้อของค่าสัมบูรณ์มีดังนี้
:<math>|a| \le b \iff -b \le a \le b </math>
:<math>|a| \ge b \iff a \le -b\ </math> or <math>a \ge b </math>
ซึ่งใช้ในการแก้อสมการที่เกี่ยวข้องกับค่าสัมบูรณ์ อาทิ
:{|
|-
|<math>|x-3| \le 9 </math>
|<math>\iff -9 \le x-3 \le 9 </math>
|-
|
|<math>\iff -6 \le x \le 12 </math>
|}
 
== ค่าสัมบูรณ์บนจำนวนเชิงซ้อน ==
:สำหรับ[[จำนวนเชิงซ้อน]] <math>z = x + yi</math> ใด ๆ เมื่อ <math>x, y\in\R</math> เป็นจำนวนจริง จะนิยามค่าสัมบูรณ์หรือมอดุลัสของ <math>z</math> ได้ดังนี้
:<math>|z| = \sqrt{[\operatorname{Re}(z)]^2 + [\operatorname{Im}(z)]^2}=\sqrt{x^2 + y^2}</math>
เมื่อ Re(z) แทนส่วนจริง และ Im(z) แทนส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z
[[หมวดหมู่:ระบบเลข]]
[[หมวดหมู่:ฟังก์ชันพิเศษมูลฐาน]]
538

การแก้ไข