ผลต่างระหว่างรุ่นของ "E (ค่าคงตัว)"
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
ลไม่มีความย่อการแก้ไข |
|||
บรรทัด 23:
แบร์นูลลีสังเกตว่าการเพิ่มขึ้นเมื่อทบต้นถี่ขึ้นนี้มีขีดจำกัด โดยเมื่อทบต้นอย่างต่อเนื่องจะมีเงินเมื่อจบปีมากที่สุดที่เป็นไปได้ด้วยดอกเบี้ยอัตรานี้ ก็คือ ค่า <math>e</math> นั่นเอง ในทำนองเดียวกัน บัญชีใด ๆ ที่เริ่มต้นด้วยเงิน <math>N</math>บาท และได้ดอกเบี้ยอย่างต่อเนื่องด้วยอัตรา <math>R</math> ต่อปี จะมีเงินจำนวน <math>Ne^{Rt}</math>เมื่อเวลาผ่านไป <math>t</math> ปี (ในที่นี้ R เป็นจำนวนทศนิยมของอัตราดอกเบี้ย เสมือนการใช้ % ยกตัวอย่างเช่น ดอกเบี้ยเงินกู้ 5%, R = 0.05)
=== '''การแจกแจงปรกติมาตรฐาน (สถิติศาสตร์)''' ===
[[การแจกแจงปรกติ]] (Normal distribution) ที่มีค่า ''μ'' = 0 และ ''σ''<sup> 2</sup> = 1 จะถูกเรียกว่า '''การแจกแจงปรกติมาตรฐาน''' (standard normal distribution) โดยใช้ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ([[:en:Probability_density_function|Probability density function]]):<ref>รองศาสตราจารย์ ดร.ปิยะ โควินท์ทวีวัฒน์ (2015). มหาวิทยาลัยราชภัฏนครปฐม. "[http://home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdf การสื่อสารดิจิตัล ตัวแปรสุ่มและกระบวนการสุ่ม]".</ref>
<math>
เมื่อ <math>\sigma</math> เป็น[[ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน|ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน]]และ <math>\mu </math> เป็น[[มัชฌิมเลขคณิต|ค่าเฉลี่ย]]▼
=== ความน่าจะเป็น ===▼
ในวิชาความน่าจะเป็น พบ
<math>p_n = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + ... = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k}</math>▼
ซึ่งเมื่อจำนวนแขก <math>n</math>เพิ่มสู่อนันต์แล้ว ความน่าจะเป็นนี้จะลู่เข้าหา <math>1/e</math>▼
=== การประมาณของสเตอร์ลิง ===▼
<math>n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</math>▼
ซึ่งแปลว่า▼
<math>e = \lim_{n \to \infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>▼
== แคลคูลัส ==
เส้น 77 ⟶ 95:
จากการเทียบเคียงสมการนี้กับอนุกรมของ <math>\sin x</math>และ <math>\cos x</math>นำไปสู่[[สูตรของออยเลอร์]] <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math>(ซึ่งมี[[เอกลักษณ์ของออยเลอร์|เอกลักษณ์ออยเลอร์]] <math>e^{i\pi}+1=0</math>เป็นกรณีพิเศษที่ <math>x = \pi</math>) เมื่อนำสูตรของออยเลอร์ไปยกกำลังจะได้ทฤษฎีบทเดอมัวร์ <math>(\cos x + i\sin x)^n = (e^{ix})^n = e^{inx} = \cos{nx} + i\sin{nx}</math>
▲=== ความน่าจะเป็น ===
▲ในวิชาความน่าจะเป็น พบ <math>e</math>ในปัญหาเกี่ยวกับการสลับคู่ ดังนี้<ref>Grinstead, C.M. and Snell, J.L.''[http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html Introduction to probability theory]'' (published online under the [[GFDL]]), p. 85.</ref>: สมมุติว่ามีแขกร่วมงานเลี้ยง <math>n</math>คน เดินเข้าประตูมาแล้วฝากหมวกของตนเองไว้กับคนใช้ ซึ่งนำหมวกเหล่านี้ไปใส่ในกล่อง <math>n</math>ใบ โดยกล่องแต่ละใบมีชื่อของแขกแต่ละคน แต่คนใช้ไม่ทราบชื่อของแขกแต่ละคน จึงนำหมวกเหล่านี้ใส่ในกล่องอย่างสุ่ม ความน่าจะเป็นที่'''''ไม่มี'''''หมวกใบไหนเลย ที่อยู่ในกล่องที่ถูกต้อง คิดเป็น
▲<math>p_n = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + ... = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k}</math>
▲ซึ่งเมื่อจำนวนแขก <math>n</math>เพิ่มสู่อนันต์แล้ว ความน่าจะเป็นนี้จะลู่เข้าหา <math>1/e</math>
▲=== การประมาณของสเตอร์ลิง ===
▲<math>e</math>ใช้ในการประมาณค่าของแฟกตอเรียลของจำนวนค่ามากได้ตามสูตร
▲<math>n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</math>
▲ซึ่งแปลว่า
▲<math>e = \lim_{n \to \infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>
▲เมื่อ <math>\sigma</math>เป็น[[ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน|ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน]]และ <math>\mu </math>เป็น[[มัชฌิมเลขคณิต|ค่าเฉลี่ย]]
== ดูเพิ่ม ==
| |||