ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม

ในพีชคณิต ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม (อังกฤษ: Polynomial remainder theorem) หรือทฤษฎีบทเล็กของเบซู (ตั้งชื่อตามเอเตียน เบซู (Étienne Bézout)) เป็นการประยุกต์ใช้การหารพหุนามแบบยุคลิด (Euclidean division of polynomial) ซึ่งทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าเศษเหลือจากการหารพหุนาม $f(x)$ ด้วยพหุนามเชิงเส้น $x-r$ เท่ากับ $f(r)$ และ $x-r$ เป็นตัวหารของ $f(x)$ ก็ต่อเมื่อ $f(r)=0$ เป็นคุณสมบัติที่เรียกว่าทฤษฎีบทตัวประกอบ (factor theorem)

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

ให้ $f(x)=x^{3}-12x^{2}-42$ การหารพหุนาม $f(x)$ ด้วย $(x-3)$ ให้ผลหาร $x^{2}-9x-27$ และเหลือเศษ $-123$ เพราะฉะนั้น $f(3)=-123$

ตัวอย่าง 2

แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามเป็นจริงกับพหุนามดีกรี 2 $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ใด ๆ ด้วยการจัดรูปพีชคณิต:

${\begin{aligned}{\frac {f(x)}{x-r}}&={\frac {a{x^{2}}+bx+c}{x-r}}\\&={\frac {a{x^{2}}-arx+arx+bx+c}{x-r}}\\&={\frac {ax(x-r)+(b+ar)x+c}{x-r}}\\&=ax+{\frac {(b+ar)(x-r)+c+r(b+ar)}{x-r}}\\&=ax+b+ar+{\frac {c+r(b+ar)}{x-r}}\\&=ax+b+ar+{\frac {a{r^{2}}+br+c}{x-r}}\end{aligned}}$

คูณทั้งสองฝั่งด้วย (x − r) ได้

$f(x)=ax^{2}+bx+c=(ax+b+ar)(x-r)+{a{r^{2}}+br+c}$.

ในเมื่อ $R=ar^{2}+br+c$ เป็นเศษเหลือ เราได้แสดงให้เห็นแล้วว่า $f(r)=R$.

การพิสูจน์

ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามตามมาจากขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดสำหรับพหุนามที่บอกว่าเมื่อกำหนดพหุนามสองตัวf(x) (ตัวตั้งหาร) และ g(x) (ตัวหาร) จะมีพหุนามผลหาร Q(x) และพหุนามเศษเหลือ R(x) เพียงชุดเดียวที่สอดคล้องกับสมการ

$f(x)=Q(x)g(x)+R(x)$ และ $R(x)=0$ หรือ $\deg(R)<\deg(g)$

ถ้าตัวหาร $g(x)=x-r$ เมื่อ r เป็นค่าคงตัว ก็อาจเป็นได้ทั้ง R(x) = 0 หรือมีดีกรี 0 ซึ่งในทั้งสองกรณี R(x) เป็นค่าคงตัวที่ขึ้นอยู่กับ x คือ

$f(x)=Q(x)(x-r)+R$

เมื่อกำหนดให้ $x=r$ ในสูตรนี้แล้วก็จะได้:

$f(r)=R.$

มีการพิสูจน์ที่ต่างกันเล็กน้อยซึ่งอาจดูพื้นฐานกว่าสำหรับบางคน เริ่มต้นจากการสังเกตว่า $f(x)-f(r)$ เป็นผลรวมเชิงเส้นของพจน์ในรูป $x^{k}-r^{k}$ ซึ่งแต่ละพจน์สามารถหารได้ด้วย $x-r$ เพราะ $x^{k}-r^{k}=(x-r)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1})$

การประยุกต์

ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามสามารถใช้เพื่อหา $f(r)$ ด้วยการคำนวนหาเศษเหลือ $R$ แต่การหารยาวพหุนาม (polynomial long division) ก็ยากกว่าการหาค่าฟังก์ชันไปเลย และการหารสังเคราะห์ (synthetic division) คำนวณได้ง่ายกว่า ดังนั้นเราอาจสามารกหาค่าของฟังก์ชันได้ด้วยการใช้การหารสังเคราะห์และทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม

ทฤษฎีบทตัวประกอบเป็นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลืออีกเรื่องหนึ่ง: ถ้าเศษเหลือเท่ากับศูนย์ ตัวหารสมการเชิงเส้นนั้นเป็นตัวประกอบของพหุนาม สามารถหาตัวประกอบของพหุนามได้ด้วยการใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบซ้ำหลายครั้ง