การหารสังเคราะห์พหุนาม

ในพีชคณิต การหารสังเคราะห์พหุนาม หรือการหารสังเคราะห์ (อังกฤษ: synthetic division) เป็นการคำนวนโดยใช้วิธีการหารพหุนามยุคลิด และเป็นวิธีที่สั้นกว่าการหารยาวพหุนาม

ภาพเคลื่อนไหวแสดงการหารสังเคราะห์ เพื่อหาผลหารของ $2x^{4}+3x^{2}+5x+1$ หารด้วย $x-2$ สังเกตุได้ว่าไม่มีพจน์ $x^{3}$ ดังนั้นหลักที่ 4 จากทางขวาจึงเป็นศูนย์

ส่วนใหญ่จะสอนใช้กับแค่พหุนามโมนิก เชิงเส้น (กฎของรัฟฟินี) แต่สามารถวางนัยกับพหุนามทั่วไปได้

ข้อดีของการหารสังเคราะห์คือ สามารถทดได้โดยไม่ต้องเขียนตัวแปร คำนวนน้อย และใช้พื้นที่น้อยกว่าการหารยาว อีกทั้งการลบในการหารยาวเปลี่ยนเป็นการบวกแทนโดยเปลี่ยนเครื่องหมายตอนแรก ๆ ช่วยป้องกันการเขียนเครื่องหมายผิด

การหารสังเคราะห์ปกติ

ตัวอย่างแรกคือการหารสังเคราะห์ที่มีตัวส่วนเป็นโมนิกเชิงเส้น $x-a$

${\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}$

ตัวเศษเขียนใหม่ได้เป็น $P(x)=x^{3}-12x^{2}+0x-42$

รากของตัวส่วน $g(x)$ คือ $3$

สัมประสิทธิ์ของ $P(x)$ เรียงได้ดังนี้ โดยเขียนรากของ $g(x)$ ไว้ทางซ้าย

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}\ 1&-12&0&-42\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}$

สัมประสิทธิ์ตัวแรกหลังเส้นกั้น ถูกดึงลงมาแถวสุดท้าย

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}\color {blue}1&-12&0&-42\\&&&\\\hline \color {blue}1&&&\\\end{array}}\end{array}}$

เลขที่ถูกดึงคูณกับเลขหน้าเส้นกั้น ผลคูณวางทแยงไปขวาบนในหลักถัดไป

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\\color {grey}3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&\color {brown}3&&\\\hline \color {blue}1&&&\\\end{array}}\end{array}}$

บวกกันภายในหลักถัดไป

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&\color {green}-12&0&-42\\&\color {green}3&&\\\hline 1&\color {green}-9&&\\\end{array}}\end{array}}$

ทำสองขั้นตอนที่แล้วไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงหลักสุดท้าย

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&3&-27&-81\\\hline 1&-9&-27&-123\end{array}}\end{array}}$

ที่นี้ หลักสุดท้าย (-123) คือเศษเหลือ ที่เหลือจะเป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร

เขียนดีกรีจ่ากน้อยไปมากโดยเริ่มจากด้านขวา โดยเริ่มจากดีกรีศูนย์ทั้งเศษเหลือและผลหาร

${\begin{array}{rrr|r}1x^{2}&-9x&-27&-123\end{array}}$

ผลหารและเศษเหลือจะเป็นดังนี้

$q(x)=x^{2}-9x-27$

$r(x)=-123$

การประยุกต์ใช้จากทฤษฎีบทเศษเหลือ

รูปแบบการหารสังเคราะห์ข้างต้นมีประโยชน์ในการหาเศษเหลือจากพหุนามตัวแปรเดียวจากทฤษฎีบทเศษเหลือ โดยสรุป ค่าของ $P(x)$ ณ $a$ จะเท่ากับเศษเหลือจากการหาร $P(x)$ ด้วย $x-a$

ข้อดีจากการใช้วิธีนี้ตือการคูณน้อยลงประมาณครึ่งหนึ่งจากการแทนค่าเข้าไปตรง ๆ อีกวิธีทางเลือกคือวิธีของฮอร์เนอร์

การหารสังเคราะห์ส่วนขยาย

วิธีนี้วางนัยได้กับการหารพหุนามโมนิกทั่วไปได้ ข้อแตกต่างจากวิธีปกติจะทำเส้นหนา ใช้ขั้นตอนเหมือนกับวิธีปกติกับการหารพหุนามต่อไปนี้

${\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x^{2}+x-3}}$

ดูเฉพาะสัมประสิทธิ์ของตัวเศษ เขียนสัมประสิทธิ์ของพหุนามตัวตั้งข้างบน

${\begin{array}{|rrrr}\ 1&-12&0&-42\end{array}}$

กลับเครื่องหมายตัวหาร

${\begin{array}{rrr}-1x^{2}&-1x&+3\end{array}}$

เขียนสัมประสิทธิ์ทุกตัวยกเว้นตัวแรกทางซ้ายก่อนเส้นกั้น เขียนทแยงไปทางขวาบน (ดูภาพถัดไป)

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&\color {grey}3\\\color {grey}-1&\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}\ 1&-12&0&-42\\&&&\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}$

สังเกตการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายจาก 1 เป็น -1 และจาก -3 เป็น 3 ดึงสัมประสิทธิ์ตัวแรกหลังเส้นกั้นลงมาแถวสุดท้าย

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}\color {blue}1&-12&0&-42\\&&&\\&&&\\\hline \color {blue}1&&&\\\end{array}}\end{array}}$

คูณเลขที่ถูกดึงกับเลขทแยงหน้าเส้นกั้น ผลคูณวางทแยงไปขวาบนจนกว่าจะคูณครบทุกเลขหน้าเส้นกั้นในหลักถัด ๆ ไป

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&\color {grey}3\\\color {grey}-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&\color {brown}3&\\&\color {brown}-1&&\\\hline \color {blue}1&&&\\\end{array}}\end{array}}$

บวกกันภายในหลักถัดไป

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&\color {green}-12&0&-42\\&&3&\\&\color {green}-1&&\\\hline 1&\color {green}-13&&\\\end{array}}\end{array}}$

ทำสองขั้นตอนที่แล้วซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าเส้นทแยงผลคูณจะเลยหลักสุดท้าย

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&3&-39\\&-1&13&\\\hline 1&-13&16&\\\end{array}}\end{array}}$

แล้วก็บวกหลักที่เหลือ

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rr}\\&3\\-1&\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&3&-39\\&-1&13&\\\hline 1&-13&16&-81\\\end{array}}\end{array}}$

นับจำนวนตัวเลขหน้าเส้นกั้น เนื่องจากมีสองตัว เศษเหลือจึงมีดีกรีเป็นหนึ่ง สังเกตได้ว่าหลักที่ไม่ได้ถูกคูณจะเป็นเศษเหลือ ซึ่งเป็นสองหลักใต้เส้นกั้นที่นับจากทางขวา เขียนเส้นกั้นลงไป

${\begin{array}{rr|rr}1&-13&16&-81\end{array}}$

เขียนดีกรีจ่ากน้อยไปมากโดยเริ่มจากด้านขวา โดยเริ่มจากดีกรีศูนย์ทั้งเศษเหลือและผลหาร

${\begin{array}{rr|rr}1x&-13&16x&-81\end{array}}$

ผลลัพท์จากการหารจะได้ดังนี้

${\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x^{2}+x-3}}=x-13+{\frac {16x-81}{x^{2}+x-3}}$

สำหรับตัวหารที่ไม่เป็นโมนิก

วิธีนี้ยังสามารถวางนัยทั่วไปให้สามารถใช้ได้กับพหุนามทั่วไป ไม่ใช่แค่พหุนามโมนิกโดยการดัดแปลงเล็กน้อย โดยปกติจะหารตัวหาร $g(x)$ ด้วยสัมประสิทธิ์นำ $a$

$h(x)={\frac {g(x)}{a}}$

แล้วหารสังเคราะห์โดยใช้ $h(x)$ เป็นตัวหาร แล้วหารผลหารที่ได้ด้วย $a$ ถึงจะได้ผลหารจากการหารด้วย $g(x)$ (เศษเหลือยังคงเดิม) แต่วิธีนี้ผิดพลาดได้ง่ายเนื่องจากตัวคูณในการหารสังเคราะห์เป็นเศษส่วน

จากการสังเกตจากการหารยาวพหุนามด้วยตัวหารที่ไม่เป็นโมนิก สัมประสิทธิ์ $P(x)$ จะถูกหารด้วยสัมประสิทธิ์นำของ $g(x)$ หลังถูกดึงและก่อนคูณ

โดยแสดงจากการหารพหุนามดังต่อไปนี้

${\frac {6x^{3}+5x^{2}-7}{3x^{2}-2x-1}}$

ใช้ตารางที่ถูกดัดแปลงเล็กน้อย

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&&\\&&&\\\hline &&&\\&&&\\\end{array}}\end{array}}$

สังเกตว่ามีแถวเพิ่มขึ้นข้างล่าง ใช้เพื่อเขียนค่าหลังจากหารตัวที่ถูกดึงด้วยสัมประสิทธิ์นำของ $g(x)$ (ในที่นี้คือ /3 สังเกตว่าตัวเลขนี้ไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย ต่างจากสัมประสิทธิ์ตัวอื่น ๆ ของ $g(x)$ )

สัมประสิทธิ์ตัวแรกของ $P(x)$ ถูกดึงลงมาตามเดิม

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}\color {blue}6&5&0&-7\\&&&\\&&&\\\hline \color {blue}6&&&\\&&&\\\end{array}}\end{array}}$

ตัวเลขที่ถูกดึงลงมาหารด้วย 3 แล้วเขียนลงไปในแถวถัดไป

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&&\\&&&\\\hline \color {blue}6&&&\\\color {blue}2&&&\\\end{array}}\end{array}}$

ตัวเลขใหม่ที่ถูกหารนี้ ไปคูณกับเลขหน้าเส้นกั้นและเขียนในแถวที่เป็นพหุคูณของ 2 และ 1 ดังที่ได้อธิบายไว้ในวิธีส่วนขยายที่กล่าวไป

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&\color {grey}1&\\\color {grey}2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&\color {brown}2&\\&\color {brown}4&&\\\hline 6&&&\\\color {blue}2&&&\\\end{array}}\end{array}}$

เลข 5ถูกดึงและบวกกับ 4 ผลลัพท์จะถูกหารด้วย 3

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&\color {green}5&0&-7\\&&2&\\&\color {green}4&&\\\hline 6&\color {green}9&&\\2&\color {green}3&&\\\end{array}}\end{array}}$

ทำเข่นเดียวกันกับเลข 3

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&\color {gray}1&\\\color {gray}2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&2&\color {brown}3\\&4&\color {brown}6&\\\hline 6&9&&\\2&\color {blue}3&&\\\end{array}}\end{array}}$

ณ จุดนี้หลัวจากได้ผลบวกตัวที่สาม เส้นทแยงผลคูณจะ "ตกขอบขวา" ดังนั้นผลบวกตัวนี้จะเป็นสัมประสิทธิ์ตัวแรกของเศษเหลือ เหมือนในวิธีส่วนขยายที่ได้กล่าวไป แต่ค่าของเศษเหลือจะไม่ถูกหารด้วยสัมประสิทธิ์นำของตัวหาร

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrr}\\&1&\\2&&\\\\&&/3\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr}6&5&0&-7\\&&2&3\\&4&6&\\\hline 6&9&8&-4\\2&3&&\\\end{array}}\end{array}}$

เหมือนในการหารสังเคราะห์แบบขยาย สองหลักสุดท้ายจะเป็นสัมประสิทธิ์เศษเหลือ (ดีกรีของตัวหารเป็น 2) ส่วนค่าที่เหลือจะเป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร

${\begin{array}{rr|rr}2x&+3&8x&-4\end{array}}$

ผลลัพท์จะได้ดังนี้

${\frac {6x^{3}+5x^{2}-7}{3x^{2}-2x-1}}=2x+3+{\frac {8x-4}{3x^{2}-2x-1}}$

การหารสังเคราะห์ส่วนขยายแบบย่อ

แต่ว่าการเขียนแนวทแยงจากที่ได้กล่าวมานั้น จะกินพื้นที่เมื่อดีกรีตัวหารเกินครึ่งหนี่งของตัวตั้ง พิจารณาได้จากการหารต่อไปนี้

${\dfrac {a_{7}x^{7}+a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}{b_{4}x^{4}-b_{3}x^{3}-b_{2}x^{2}-b_{1}x-b_{0}}}$

จะเห็นได้ว่าจะเขียนผลคูณไว้ที่บรรทัดไหนก็ได้ ขอให้แค่ถูกหลักก็พอ โดยใช้กลยุทธ์แบบละโมบในการย่อขั้นตอนวิธี ดังการหารต่อไปนี้

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\\\\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\&&&&/b_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&&&q_{0}b_{3}&&&\\&&&q_{1}b_{3}&q_{1}b_{2}&q_{0}b_{2}&&\\&&q_{2}b_{3}&q_{2}b_{2}&q_{2}b_{1}&q_{1}b_{1}&q_{0}b_{1}&\\&q_{3}b_{3}&q_{3}b_{2}&q_{3}b_{1}&q_{3}b_{0}&q_{2}b_{0}&q_{1}b_{0}&q_{0}b_{0}\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&q_{2}'&q_{1}'&q_{0}'&r_{3}&r_{2}&r_{1}&r_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&&&&\\\end{array}}\end{array}}$

ต่อไปนี้คือขั้นตอนวิธีของการหารสังเคราะห์ส่วนขยายแบบย่อ สามารถใช้ได้กับพหุนามไม่เป็นโมนิกอีกด้วย

เขียนสัมประสิทธิ์ตัวตั้งบนเส้นกั้น

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{|rrrrrrrr}\ a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline \end{array}}\end{array}}$

กลับเครื่องหมายสัมประสิทธิ์ของตัวหาร ยกเว้นสัมประสิทธิ์ตัวนำ แล้วเขียนลงทางซ้ายของเส้นกัั้น

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrrrrrr}\ a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline \end{array}}\end{array}}$

นับจำนวนสัมประสิทธิ์ตัวหารให้เท่ากับสัมประสิทธิ์หน้าเส้นกั้น โดยเริ่มจากหลักขวาสุด แล้วเขียนเส้นกั้นลงทางซ้ายเพื่อแบ่งหลักที่เป็นสัมประสิทธิ์ผลหารกับเศษเหลือ

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr|rrrr}a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline &&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}$

ดึงสัมประสิทธิ์หลักแรกลงใต้เส้นกั้น

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr|rrrr}a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}$

- หารจำนวนที่ถูกดึง/บวกมาด้วยสัมประสิทธิ์นำของตัวหาร แล้วเขียนผลหารลงแถวข้างล่าง (ขั้นตอนนี้ไม่จำเป็นถ้าสัมประสิทธิ์ตัวนำตัวหารเป็น 1) ในที่นี้ $q_{3}={\frac {a_{7}}{b_{4}}}$ ซึ่งดัชนีของ $q$ เป็น $3=7-4$ นั้นเกิดจากการลบดัชนีของตัวตั้งกับตัวหาร
- คูณจำนวนที่ถูกดึง/บวกหรือที่ถูกหาร ด้วยสัมประสิทธิ์ตัวหารที่ถูกกลับเครื่องหมายหน้าเส้นกั้น (เริ่มจากซ้ายสุด) ข้ามขั้นตอนนี้ถ้าจำนวนที่ถูกดึง/บวกหรือที่ถูกหารเป็นศูนย์ เขียนผลคูณในหลักถัด ๆ ไปตามลำดับ ${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\&&&&/b_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&q_{3}b_{3}&q_{3}b_{2}&q_{3}b_{1}&q_{3}b_{0}&&&\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&&&&&&&\\q_{3}&&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}$
ทำการบวกภายในหลักถัดไป ในที่นี้ $q'_{2}=q_{3}b_{3}+a_{6}$

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\&&&&/b_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&q_{3}b_{3}&q_{3}b_{2}&q_{3}b_{1}&q_{3}b_{0}&&&\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&q_{2}'&&&&&&\\q_{3}&&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}$

ทำสองขั้นตอนที่แล้วซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงเลขหน้าเส้นกั้น i. ให้ $q_{2}={\frac {q_{2}'}{b_{4}}}$

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\&&&&/b_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&q_{2}b_{3}&q_{2}b_{2}&q_{2}b_{1}&&&\\&q_{3}b_{3}&q_{3}b_{2}&q_{3}b_{1}&q_{3}b_{0}&q_{2}b_{0}&&\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&q_{2}'&q_{1}'&&&&&\\q_{3}&q_{2}&&&&&&\\\end{array}}\end{array}}$ ii.ให้ $q_{1}={\frac {q_{1}'}{b_{4}}}$ ${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\&&&&/b_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&&q_{1}b_{3}&q_{1}b_{2}&&&\\&&q_{2}b_{3}&q_{2}b_{2}&q_{2}b_{1}&q_{1}b_{1}&&\\&q_{3}b_{3}&q_{3}b_{2}&q_{3}b_{1}&q_{3}b_{0}&q_{2}b_{0}&q_{1}b_{0}&\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&q_{2}'&q_{1}'&q_{0}'&&&&\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&&&&&\\\end{array}}\end{array}}$ iii.ให้ $q_{0}={\frac {q_{0}'}{b_{4}}}$ ${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\\\\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\&&&&/b_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&&&q_{0}b_{3}&&&\\&&&q_{1}b_{3}&q_{1}b_{2}&q_{0}b_{2}&&\\&&q_{2}b_{3}&q_{2}b_{2}&q_{2}b_{1}&q_{1}b_{1}&q_{0}b_{1}&\\&q_{3}b_{3}&q_{3}b_{2}&q_{3}b_{1}&q_{3}b_{0}&q_{2}b_{0}&q_{1}b_{0}&q_{0}b_{0}\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&q_{2}'&q_{1}'&q_{0}'&r_{3}&&&\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&&&&\\\end{array}}\end{array}}$

ทำการบวกหลักที่เหลือ (เพื่อคำนวนหาเศษเหลือ)

${\begin{array}{cc}{\begin{array}{rrrr}\\\\\\\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\\&&&&/b_{4}\\\end{array}}{\begin{array}{|rrrr|rrrr}&&&&q_{0}b_{3}&&&\\&&&q_{1}b_{3}&q_{1}b_{2}&q_{0}b_{2}&&\\&&q_{2}b_{3}&q_{2}b_{2}&q_{2}b_{1}&q_{1}b_{1}&q_{0}b_{1}&\\&q_{3}b_{3}&q_{3}b_{2}&q_{3}b_{1}&q_{3}b_{0}&q_{2}b_{0}&q_{1}b_{0}&q_{0}b_{0}\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\\hline a_{7}&q_{2}'&q_{1}'&q_{0}'&r_{3}&r_{2}&r_{1}&r_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&&&&\\\end{array}}\end{array}}$

ในแถวล่างสุดใต้เส้นกั้เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม ส่วนหน้าเส้นกั้นเป็นของผลหาร ส่วนหลังเส้นกั้นเป็นเศษเหลือ สัมประสิทธิ์เหล่านี้มีดีกรีเพิ่มขึ้นจากขวาไปซ้าย โดยเริ่มที่ศูนย์ทั้งผลหารและเศษเหลือ

${\dfrac {a_{7}x^{7}+a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}{b_{4}x^{4}-b_{3}x^{3}-b_{2}x^{2}-b_{1}x-b_{0}}}=q_{3}x^{3}+q_{2}x^{2}+q_{1}x+q_{0}+{\dfrac {r_{3}x^{3}+r_{2}x^{2}+r_{1}x+r_{0}}{b_{4}x^{4}-b_{3}x^{3}-b_{2}x^{2}-b_{1}x-b_{0}}}$

ดูเพิ่ม

อ้างอิง

Fan, Lianghuo (June 2003). "A Generalization of Synthetic Division and A General Theorem of Division of Polynomials" (PDF). Mathematical Medley. 30 (1): 30–37. เก็บ (PDF)จากแหล่งเดิมเมื่อ September 7, 2015.
Li, Zhou (January 2009). "Short Division of Polynomials" (PDF). College Mathematics Journal. 40 (1): 44–46. เก็บ (PDF)จากแหล่งเดิมเมื่อ July 9, 2020.

แหล่งข้อมูลอื่น

Goodman, Len; Stover, Christopher & Weisstein, Eric W., "Synthetic Division" จากแมทเวิลด์.
Stover, Christopher, "Ruffini's Rule" จากแมทเวิลด์.