พิกัดทรงกลม (r , θ , φ ) ถูกใช้เป็นปกติในวิชาฟิสิกส์ พิจารณาพิกัดทรงกลม (r, θ , φ ) ตามรูปด้าน
โดยระบุ ทิศทางของเวกเตอร์ r เป็นระยะทาง r จากจุดกำเนิด
มุม θ (เซต้า) มีทิศทำมุมกับแกน Z
มุม φ (ฟี) โปรเจกชั่นของทิศทางบนระนาบ x-y มีทิศทำมุมกับแกน x
ซึ่งมีความสัมพันธ์กับพิกัดฉากตามสมการ
x
=
r
sin
θ
cos
φ
y
=
r
sin
θ
sin
φ
z
=
r
cos
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\y&=r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\z&=r\,\cos \theta \end{aligned}}}
ดังนั้นจากสมการชเรอดิงเงอร์ใน 3 มิติ (1) สามารถเขียนสมการชเรอดิงเงอร์ในพิกัดทรงกลมได้เป็น
−
ℏ
2
2
m
[
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
ψ
∂
r
)
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
ψ
∂
θ
)
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
ψ
∂
ϕ
2
]
+
V
(
r
)
ψ
(
r
)
=
E
ψ
(
r
)
(
2
)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}]+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )\quad (2)}
เมื่อ ตัวดำเนินการลาปราส (
∇
2
{\displaystyle \nabla ^{2}}
∇
2
=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
∂
r
)
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
∂
θ
)
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
∂
ϕ
2
{\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}}
ใช้วิธีการแยกตัวแปร โดยกำหนดให้ ฟังก์ชันคลื่นสามารถแยกเป็นฟังก์ชันที่ขึ้นกับ r คูณกับฟังก์ชันที่ขึ้นกับ θ และ φ ตามสมการ
ψ
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
R
(
r
)
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
.
{\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=R(r)Y_{lm}(\theta ,\phi ).\,}
หลังจากแก้สมการชเรอดิงเงอร์ตามสมการ (2) จะได้สมการทั้งหมด ดังนี้
1
R
d
d
r
(
r
2
d
R
d
r
)
+
2
m
r
2
ℏ
2
[
E
−
V
(
r
)
]
=
λ
(
3
)
,
1
Y
1
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
Y
∂
θ
)
+
1
Y
1
sin
2
θ
∂
2
Y
∂
ϕ
2
=
−
λ
.
(
4
)
{\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)+{\frac {2mr^{2}}{\hbar ^{2}}}[E-V(r)]=\lambda \quad (3),\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \phi ^{2}}}=-\lambda .\quad (4)}
เมื่อ
λ
=
l
(
l
+
1
)
{\displaystyle \lambda =l(l+1)}
โดย สมการ (3) เรียกว่า Radial equation
สมการ (4) เป็นส่วนของ Angular equation
สมการในส่วนของมุม (Angular equation)
แก้
พิจารณาส่วนของมุม (Angular) ตามสมการ (4) ซึ่งนักฟิสิกส์พยายามที่จะใช้วิธีการแยกตัวแปร เพื่อแยกตัวแปรเกี่ยวกับมุม ให้อยู่ในรูป
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
=
Θ
(
θ
)
Φ
(
ϕ
)
{\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\phi )=\Theta (\theta )\Phi (\phi )\,\;}
θ
{\displaystyle \theta }
ϕ
{\displaystyle \phi }
1
Φ
d
2
Φ
d
ϕ
2
=
−
m
2
{\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\phi ^{2}}}=-m^{2}}
λ
sin
2
θ
+
sin
θ
Θ
d
d
θ
(
sin
θ
d
Θ
d
θ
)
=
m
2
{\displaystyle \lambda \sin ^{2}\theta +{\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)=m^{2}}
ได้คำตอบในส่วนของมุมเป็น
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
=
(
−
1
)
m
(
2
ℓ
+
1
)
4
π
(
ℓ
−
m
)
!
(
ℓ
+
m
)
!
P
ℓ
m
(
cos
θ
)
e
i
m
ϕ
(
5
)
{\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}{\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }\quad (5)}
โดย
l
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle l=0,1,2,...}
Orbital angular momentum quantum number
m
=
−
l
,
−
l
+
1
,
.
.
.
,
−
1
,
0
,
1
,
.
.
.
,
l
−
1
,
l
{\displaystyle m=-l,-l+1,...,-1,0,1,...,l-1,l}
Magnetic quantum number
และเรียก
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )}
Spherical harmonics ซึ่งจะมีสมบัติ Orthonormal ตามสมการ
∫
θ
=
0
π
∫
φ
=
0
2
π
Y
ℓ
m
∗
Y
ℓ
′
m
′
sin
θ
d
θ
d
ϕ
=
δ
ℓ
ℓ
′
δ
m
m
′
{\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,{}^{*}Y_{\ell '}^{m'}\,{\sin \theta }{d\theta }d\phi =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}}
สมการในส่วนของรัศมี (Radial equation)
แก้
จากสมการ (3) เราจะสามารถแก้สมการได้ง่ายขึ้น ถ้าทำการเปลี่ยนตัวแปร โดยกำหนดให้
u
(
r
)
=
d
e
f
r
R
(
r
)
{\displaystyle u(r)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ rR(r)}
จัดรูปใหม่จะได้
−
ℏ
2
2
m
0
r
d
2
d
r
2
(
r
R
(
r
)
)
+
ℏ
2
l
(
l
+
1
)
2
m
0
r
2
R
(
r
)
+
V
(
r
)
R
(
r
)
=
E
R
(
r
)
(
5
)
{\displaystyle -{\hbar ^{2} \over 2m_{0}r}{d^{2} \over dr^{2}}\left(rR(r)\right)+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2m_{0}r^{2}}R(r)+V(r)R(r)=ER(r)\quad (5)}
จะพบว่ามีรูปแบบเหมือนกับสมการชเรอดิงเงอร์ ใน 1 มิติ ยกเว้นจะมีเทอมของศักย์ยังผล (Effective potential) เพิ่มเข้ามา
V
e
f
f
(
r
)
=
V
(
r
)
+
ℏ
2
l
(
l
+
1
)
2
m
0
r
2
{\displaystyle V_{\mathrm {eff} }(r)=V(r)+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2m_{0}r^{2}}}
Orbital angular momentum
แก้
ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุม L หาค่าได้จากผลคูณเชิงเวกเตอร์ ของตัวดำเนินการตำแหน่งของฟังก์ชันคลื่น r กับ ตัวดำเนินการโมเมนตัม p ตามสมการ
L
=
r
×
p
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }
เนื่องจาก
L
2
=
L
x
2
+
L
y
2
+
L
z
2
{\displaystyle \mathbf {L} ^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}}
ดังนั้น จะได้
L
2
=
−
r
2
∇
2
+
(
r
∂
∂
r
+
1
)
r
∂
∂
r
=
−
1
sin
θ
∂
∂
θ
sin
θ
∂
∂
θ
−
1
sin
2
θ
∂
2
∂
φ
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}&=-r^{2}\nabla ^{2}+\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}+1\right)r{\frac {\partial }{\partial r}}\\&=-{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}.\end{aligned}}}
เมื่อ
ℏ
=
1
{\displaystyle \hbar =1}
ถ้านำ
L
2
{\displaystyle \mathbf {L} ^{2}}
ไป operate กับ
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )}
L
^
2
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
=
{
−
1
sin
2
θ
[
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
∂
θ
)
+
∂
2
∂
ϕ
2
]
}
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
.
(
6
)
{\displaystyle {\hat {L}}^{2}Y_{lm}(\theta ,\phi )=\left\{-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big (}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]\right\}Y_{lm}(\theta ,\phi ).\quad (6)}
จะพบว่าในวงเล็บ () ของสมการ (6) จะตรงกับสมการ (4) โดยมี
−
λ
{\displaystyle -\lambda }
L
^
2
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
=
l
(
l
+
1
)
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
.
(
7
)
{\displaystyle {\hat {L}}^{2}Y_{lm}(\theta ,\phi )=l(l+1)Y_{lm}(\theta ,\phi ).\quad (7)}
และถ้าพิจารณา L ในแนวแกน Z จะได้
L
z
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
=
m
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
.
(
8
)
{\displaystyle {L}_{z}Y_{lm}(\theta ,\phi )=mY_{lm}(\theta ,\phi ).\quad (8)}
![{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}]+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )\quad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/394a3c65e4c8f40a097ec7a90d5f8329edf7c6d3)
![{\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)+{\frac {2mr^{2}}{\hbar ^{2}}}[E-V(r)]=\lambda \quad (3),\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \phi ^{2}}}=-\lambda .\quad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f7fba697dce6ace9820c2f77212130a7b74cf0)
![{\displaystyle {\hat {L}}^{2}Y_{lm}(\theta ,\phi )=\left\{-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big (}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]\right\}Y_{lm}(\theta ,\phi ).\quad (6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b84334ee9eb9cd768cad6924f0bb9d1a506da2a3)
