วิกิพีเดีย

ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ผลคูณอนันต์"

เรียกดูประวัติแบบโต้ตอบ
การแก้ไขถัดไป →
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
เห็นภาพข้อความวิกิ
PointlessUsername (คุย | ส่วนร่วม)
การแก้ไข 209 ครั้ง
สร้างขึ้นโดยการแปลหน้า "Infinite product"
 
PointlessUsername (คุย | ส่วนร่วม)
การแก้ไข 209 ครั้ง
ปรับส่วนที่เครื่องมือแปลมีปัญหา
บรรทัด 1:
ใน[[คณิตศาสตร์]] '''ผลคูณอนันต์'''ของ[[ลำดับ]]ของ[[จำนวนเชิงซ้อน]] ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>, ... ซึ่งเขียนแทนด้วย
 
<math>\prod_{n=1}^\infty a_n = a_1a_2a_3...</math>
 
นิยามเป็น[[ลิมิต]]ของ[[การคูณ|ผลคูณย่อย]] ''a''<sub>1</sub>''a''<sub>2</sub>...''a<sub>n</sub>'' เมื่อ ''n'' เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัด ผลคูณนี้เรียกว่า''ลู่เข้า'' เมื่อลิมิตนี้มีอยู่และไม่เป็นศูนย์ มิฉะนั้นจะกล่าวว่าผลคูณนี้''ลู่ออก'' โดยปกติแล้ว กรณีที่ลิมิตเป็นศูนย์ถูกพิจารณาเป็นพิเศษ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เทียบเคียงได้กับ[[อนุกรม|อนุกรมอนันต์]] มีแหล่งข้อมูลบางแหล่งที่อนุญาตให้ผลคูณลู่เข้าเป็น 0 หากมีตัวประกอบในลำดับเพียงจำนวนจำกัดที่เป็นศูนย์และผลคูณของส่วนที่ไม่เป็นศูนย์นั้นไม่ใช่ศูนย์ แต่สำหรับความเรียบง่าย ในบทความนี้จะไม่นับกรณีแบบนี้ หากผลคูณลู่เข้า ลิมิตของลำดับ ''a<sub>n</sub>'' เมื่อ ''n'' เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัดจะต้องเป็น 1 เสมอ แต่บทกลับของทฤษฎีบทนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นจริง
บรรทัด 7:
ตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดของผลคูณอนันต์ เช่นสูตรสำหรับค่า [[พาย (ค่าคงตัว)|&#x3C0;]] เช่น ผลคูณต่อไปนี้ เป็นของ Viète (ซึ่งเป็นผลคูณอนันต์ที่ค้นพบเป็นอันแรกในวิชาคณิตศาสตร์) และของ Wallis ตามลำดับ:
 
<math>\frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot\frac\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}...</math>
 
<math>\frac{\pi}{2}
= \frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}...
= \prod_{n=1}^\infty \left(\frac{4n^2}{4n^2-1}\right)</math>
บรรทัด 16:
ผลคูณของจำนวนจริงบวก
 
<math>\prod_{n=1}^\infty a_n</math>
 
จะลู่เข้าสู่จำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม
 
<math>\sum_{n=1}^\infty \log(a_n)</math>
 
ลู่เข้าเช่นเดียวกัน ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้สามารถแปลงเกณฑ์ในการลู่เข้าสำหรับอนุกรมอนันต์เป็นเกณฑ์การลู่เข้าสำหรับผลคูณอนันต์ได้ เกณฑ์เดียวกันอาจนำไปใช้กับผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน (รวมถึงจำนวนจริงลบ) โดยการใช้กิ่ง (branch) ของฟังก์ชันลอการิทึมซึ่งเป็นไปตามข้อบังคับว่า ln(1) = 0 โดยมีเงื่อนไขว่าผลคูณลู่ออกหากมี ''a<sub>n</sub>'' เป็นจำนวนอนันต์ที่ตกอยู่นอกเหนือโดเมนของ ln แต่หากมีเพียงจำนวนจำกัดสามารถข้ามได้
บรรทัด 26:
สำหรับผลคูณของจำนวนจริงที่แต่ละ <math>a_n \ge 1</math>หรือเขียนเป็น <math>a_n = 1 + p_n,\ p_n \ge 0</math>จะได้อสมการ
 
<math>1 + \sum_{n=1}^N p_n
\le \prod_{n=1}^N (1+p_n)
\le \exp\left(\sum_{n=1}^N p_n\right)</math>
บรรทัด 32:
ซึ่งแสดงว่าผลคูณจะลู่เข้าถ้าอนุกรมอนันต์ของ ''p''<sub>''n''</sub> ลู่เข้า ทฤษฎีบทนี้ต้องอาศัย ทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียว (Monotone convergence theorem) สำหรับบทกลับสามารถเห็นได้จากการสังเกตว่า ถ้า <math>p_n \to 0 </math>แล้ว
 
<math>\lim_{n\to\infty} \frac{\log(1+p_n)}{p_n}
= \lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)}{x}
= 1</math>
บรรทัด 38:
ดังนั้นโดยการทดสอบโดยการเปรียบเทียบลิมิต (limit comparison test) จะได้ว่าอนุกรมทั้งสองคือ
 
<math>\sum_{n=1}^\infty \log(1+p_n)</math>และ <math>\sum_{n=1}^\infty p_n</math>
 
เทียบเท่ากัน นั่นคือทั้งสองจะลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่เสมอ
บรรทัด 51:
ผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาผลคูณอนันต์ คือฟังก์ชันทั่ว (entire function) ''f''(''z'') ทุกฟังก์ชัน(นั่นคือ ทุกฟังก์ชันที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกใน[[จำนวนเชิงซ้อน|ระนาบเชิงซ้อน]]) สามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณอนันต์ของฟังก์ชันทั่วที่แต่ละตัวมีรากอย่างมากที่สุดหนึ่งค่า โดยทั่วไปถ้า ''f'' มีรากอันดับ ''m'' ที่จุดกำเนิดและมีรากเชิงซ้อนอื่น ๆ ที่ ''u''<sub>1</sub>, ''u''<sub>2</sub>, ''u''<sub>3</sub>, ... (แต่ละค่าไล่ซ้ำจำนวนครั้งเท่ากับอันดับของราก) แล้ว
 
<math>f(z) = z^m e^{\phi(z)} \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z}{u_n}\right)
\exp\left\{\frac{z}{u_n} + \frac{1}{2} \left(\frac{z}{u_n}\right)^2 + ... + \frac{1}{\lambda_n} \left(\frac{z}{u_n}\right)^{\lambda_n} \right\}</math>
 
เมื่อ ''λ''<sub>''n''</sub> เป็นจำนวนเต็มไม่ลบที่สามารถเลือกเพื่อให้ผลคูณลู่เข้า และ ''φ(z)'' เป็นฟังก์ชั่นทั่วบางฟังก์ชัน (ซึ่งแปลว่าพจน์หน้าผลคูณจะไม่มีรากในระนาบเชิงซ้อน) การแยกตัวประกอบข้างต้นทำได้หลายแบบ เนื่องจากขึ้นอยู่กับการเลือกค่าสำหรับ ''λ''<sub>''n''</sub> อย่างไรก็ตามสำหรับฟังก์ชั่นส่วนใหญ่จะมีจำนวนเต็มไม่ลบต่ำสุด ''p'' ที่เมื่อ ''''λ'''' <sub>''n''</sub> = ''p'' แล้วผลคูณลู่เข้า เราเรียกผลคูณนี้ว่า รูปผลคูณบัญญัติ (canonical product representation) ''p'' นี้เรียกว่า''อันดับ'' (rank) ของผลคูณบัญญัตินั้น ในกรณีที่ ''p'' = 0 จะได้เป็น
 
<math>f(z) = z^m e^{\phi(z)} \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z}{u_n}\right)</math>
 
ซึ่งถือได้ว่าเป็นนัยทั่วไปของ[[ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต]] โดยในกรณีพหุนาม ผลคูณมีพจน์จำกัด และ ''φ'' (''z'') เป็นค่าคงที่
บรรทัด 72:
|ฟังก์ชัน sinc
|<math>\textrm{sinc}(\pi z) =\prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{n^2}\right)</math>
|มาจาก[[ออยเลอร์]] มีสูตรค่าพายของ Wallis เป็นกรณีพิเศษ
|This is due to [[เลออนฮาร์ด ออยเลอร์|Euler]]. Wallis' formula for π is a special case of this.
|- valign="top"
|[[ฟังก์ชันแกมมาส่วนกลับ]]
|<math>\frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-\frac{z}{n}} = z \prod_{n=1}^\infty \frac{1+\frac{z}{n}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z}</math>
|
|Schlömilch
|- valign="top"
|ฟังก์ชันซิกมาของไวเออร์ชตราส
|<math>\sigma(z) = z\prod_{\omega \in \Lambda_{*}} \left(1-\frac{z}{\omega}\right)e^{\frac{z^2}{2\omega^2}+\frac{z}{\omega}}</math>
|Here <math>\Lambda_{*}</math> is the lattice without the origin.หมายถึงแลตทิซที่ไม่มีจุดกำเนิด
|- valign="top"
|เครื่องหมาย q-Pochhammer
|<math>(z;q)_\infty = \prod_{n=0}^\infty (1-zq^n)</math>
|ใช้ใน q-analog theory มีฟังก์ชันออยเลอร์เป็นกรณีพิเศษ
|Widely used in q-analog theory. The Euler function is a special case.
|- valign="top"
|ฟังก์ชันทีตาของรามานุจัน
บรรทัด 91:
&= \prod_{n=0}^\infty (1+a^{n+1}b^n)(1+a^nb^{n+1})(1-a^{n+1}b^{n+1})
\end{align}</math>
|แสดงผลคูณสามชั้นของจาโคบี ใช้ในการเขียนฟังก์ชันทีตาของจาโคบี
|An expression of the Jacobi triple product, also used in the expression of the Jacobi theta function
|- valign="top"
|[[ฟังก์ชันซีตาของรีมัน|ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์]]
|<math>\zeta(z) = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 - p_n^{-z}}</math>
|Here ''p''<sub>''n''</sub> denotes the sequence of หมายถึงลำดับของ[[จำนวนเฉพาะ|prime numbers]]. This is a special case of the Euler product.เป็นกรณีพิเศษของผลคูณออยเลอร์
|}
โดยลำดับสุดท้ายไม่ใช่รูปผลคูณแบบที่กล่าวถึงข้างต้นเนื่องจาก ''ζ'' ไม่ใช่ฟังก์ชันทั่ว โดยรูปผลคูณนี้ ''ζ'' (''z'') ลู่เข้าเฉพาะเมื่อในขอบเขต Re (''z'') &#x3E; 1 ซึ่งเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ โดยเทคนิคการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ฟังก์ชันนี้สามารถขยายไปเป็นฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่เป็นเอกลักษณ์ (ซึ่งยังเรียกว่า ''ζ'' (''z'')) บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดยกเว้นที่จุด ''z'' = 1 ซึ่งมีขั้วอย่างง่าย
เข้าถึงจาก "https://th.wikipedia.org/wiki/ผลคูณอนันต์"