ผลต่างระหว่างรุ่นของ "รากที่สาม"
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
ไม่มีความย่อการแก้ไข ป้ายระบุ: แก้ไขจากอุปกรณ์เคลื่อนที่ แก้ไขจากเว็บสำหรับอุปกรณ์เคลื่อนที่ |
สมบัติ |
||
บรรทัด 1:
{{รอการตรวจสอบ}}
[[ไฟล์:Cube root.png|right|thumb|288px|กราฟของสมการ <math>y = \sqrt[3]{x}</math>]]
ในำนวน ''x'' คือจำนวนที่เมื่อ[[คูณ]]ด้วยตัวมันเองแล้ว นำ[[ผลลัพธ์]]ไปคูณตัวมันเองอีกครั้ง จะได้ค่า ''x'' ตัวอย่างเช่น รากที่สามของ 8 คือ 2 เพราะว่า 2 × 2 × 2= 8 โดยทั่วไปแล้ว[[จำนวนจริง]]จำนวนหนึ่งจะมีรากที่สามอยู่ 3 จำนวน คือ จำนวนจริง 1 จำนวน
การดำเนินการหารากที่สามเป็น[[การเปลี่ยนหมู่]]กับ [[การชี้กำลัง]] และเป็น[[การแจกแจง]]กับ[[การคูณ]] และ[[การหาร]] แต่นี่ไม่ได้เปลี่ยนหมู่หรือแจกแจงกับ[[การบวก]] หรือ [[การลบ]]แต่อย่างใด
== นิยาม ==
บรรทัด 11:
รากที่สามของจำนวน ''x'' และ ''y'' ที่เป็นคำตอบของสมการต่อไปนี้
== สมบัติ ==
=== จำนวนจริง ===
สำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ จะมีจำนวนจริง y เพียงหนึ่งจำนวนเสมอ ที่ y<sup>3</sup> = x เนื่องจากฟังก์ชันกำลังสามเป็นฟังก์ชันเพิ่ม จึงไม่ให้ค่าซ้ำจากจำนวนที่ต่างกัน และยังเป็นฟังก์ชันที่เรนจ์ครอบคลุมเซตของจำนวนจริง นั่นคือฟังก์ชันกำลังสามเป็น[[ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง]] และมีฟังก์ชันผกผันที่หนึ่งต่อหนึ่งเช่นเดียวกัน จากนิยาม จำนวนจริงบวกจะมีรากที่สามเป็นจำนวนจริงบวก และจำนวนจริงลบจะมีรากที่สามเป็นจำนวนจริงลบ
หากอนุญาตให้ y เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ จะพบว่าสมการ y<sup>3</sup> = x มี 3 คำตอบที่ต่างกันเสมอ (เว้นแต่กรณี x = 0 ซึ่งให้ y = 0 ค่าเดียว) โดยค่าหนึ่งเป็นจำนวนจริงดังกล่าวมาแล้ว อีกสองค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน และเป็นสังยุคกันเสมอ เช่น รากที่สามของ 1 ได้แก่:
<math>1, -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i</math>
รากที่สามของ 1 เหล่านี้แสดงความสัมพันธ์ของรากที่สามทั้งสามตัวของจำนวนจริงใด ๆ โดยหากมีจำนวนหนึ่งเป็นรากที่สามของอีกจำนวนหนึ่งแล้ว รากที่สามที่เหลือทั้งสองตัวสามารถหาได้จากการนำรากตัวแรกไปคูณกับรากที่สามของ 1 ที่เป็นเชิงซ้อนแต่ละตัว
=== จำนวนเชิงซ้อน ===
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน x ใด ๆ เราสามารถเขียน
<math>x = r \exp (i \theta )</math>
โดยที่ r เป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบและ
<math>- \pi < \theta \leq \pi</math>
ซึ่งจะได้ว่า
<math>\sqrt[3]{x} = \begin{cases}
\sqrt[3]{r}\exp \left( \frac{i\theta}{3}\right),
\\ \sqrt[3]{r}\exp \left(\frac{i\theta}{3} + \frac{2i \pi}{3} \right),
\\ \sqrt[3]{r}\exp \left(\frac{i\theta}{3} - \frac{2i \pi}{3} \right). \end{cases}</math>
โดยปกติแล้วปกติจะนิยามรากที่สาม[[รากที่ n|มุขสำคัญ]] เป็นรากตัวที่มีส่วนจริงมากที่สุด หรือทียบเท่ากับการมี[[ค่าสัมบูรณ์]]ของ[[อาร์กิวเมนต์]]ต่ำสุด ซึ่งตามด้านบนจะเป็นรากที่สามตัวบนสุด
ค่านี้สัมพันธ์กับค่ามุขสำคัญของลอการิทึมตามสมการ
<math>x^\frac{1}{3} = \exp{\left(\frac{1}{3}\ln{x}\right)}</math>
ควรสังเกตว่า โดยนิยามนี้ รากที่สามของจำนวนจริงลบ จะมีค่ามุขสำคัญเป็นจำนวนเชิงซ้อน เช่น ค่ามุขสำคัญของ <sup>3</sup>√−8 เป็น 1 + ''i''√3 ไม่ใช่ - 2
[[หมวดหมู่:พีชคณิตมูลฐาน]]
[[หมวดหมู่:ฟังก์ชันพิเศษมูลฐาน]]
| |||