ผลต่างระหว่างรุ่นของ "สัญกรณ์บรา-เค็ท"
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
หน้าใหม่: ในวิชากลศาสตร์ควอนตัม สัญกรณ์บรา-เค็ท คือ สัญกรณ์พื้นฐานท... |
ไม่มีความย่อการแก้ไข |
||
บรรทัด 49:
* ผลคูณภายนอก (Outer products)
<math>\left((c_1|\phi_1\rangle\langle \psi_1|) + (c_2|\phi_2\rangle\langle\psi_2|)\right)^\dagger = (c_1^* |\psi_1\rangle\langle \phi_1|) + (c_2^*|\psi_2\rangle\langle\phi_2|)~</math>
===ตัวดำเนินการเชิงเส้น (Linear operators)===
=== '''ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำต่อเค็ท''' ===
ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำต่อเค็ทและได้ผลเป็น เค็ท เราจะสามารถกล่าวได้ว่าตัวดำเนินการนั้นเป็น “เชิงเส้น” ได้ เมื่อตัวดำเนินการนั้นมีสมบัติที่แน่นอน กล่าวอีกนัยหนึ่งได้ว่า ถ้าให้ <math>A</math> เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นและ <math>|\psi\rangle</math> เป็นสถานะทางควอนตัมที่เรียกว่าเค็ท จะได้ว่า เมื่อ <math>A</math> กระทำต่อ <math>|\psi\rangle</math> จะทำให้ได้ <math>A|\psi\rangle</math> เป็นสถานะใหม่ขึ้นมา
ตัวดำเนินการเชิงเส้นถูกใช้อย่างมากในวิชากลศาสตร์ควอนตัม ใน Hilbert space ที่มีจำนวน <math>N</math> มิติ สถานะ <math>|\psi\rangle</math> สามารถเขียนในรูปของคอลัมน์เวกเตอร์ <math>N\times1</math> มิติ ส่วนตัวดำเนินการ <math>A</math> จะอยู่ในรูปเมริกซ์ <math>N\times N</math> มิติ โดยที่ <math>A|\psi\rangle</math> สามารถคำนวณด้วยวิธีการคูณแบบเมทริกซ์
=== ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำต่อบรา ===
ตัวดำเนินการจะกระทำจากทางด้านขวาของบรา ถ้าให้ ''<math>A</math>'' เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นและ <math>\langle\psi|</math> เป็นสถานะทางควอนตัมที่เรียกว่าบรา ซึ่ง <math>\langle\psi|A</math> จะเป็นสถานะใหม่ที่ถูกนิยามตามสมการ
:<math>\bigg(\langle\phi|A\bigg) \; |\psi\rangle = \langle\phi| \; \bigg(A|\psi\rangle\bigg) ,</math>
ใน Hilbert space ที่มีจำนวน N มิติ สถานะ <math>\langle\psi|</math> สามารถเขียนในรูปของแถวเวกเตอร์ <math>1\times N</math> มิติ ส่วนตัวดำเนินการ '''''<math>A</math>''''' จะอยู่ในรูปเมริกซ์ <math>N\times N</math> มิติ โดยที่ <math>\langle\psi|A</math> สามารถคำนวณด้วยวิธีการคูณแบบเมทริกซ์ และถ้าสถานะของเวกเตอร์อยู่ในรูปของสัญกรณ์บราและเค็ทจะเขียนได้เป็น
:<math>\langle\phi|A|\psi\rangle</math>
ผลที่ออกมาจะแสดงผลของปริมาณที่เรียกว่า ค่าคาดหวัง หรือค่าเฉลี่ย
=== '''Outer products''' ===
วิธีที่จะนิยามตัวดำเนินการเชิงเส้นใน Hilbert space จะใช้ outer product โดยถ้าให้ <math>\langle\psi|</math> และ <math>|\psi\rangle</math> เป็นสถานะที่เรียกว่าบราและเค็ทตามลำดับ จะเขียน outer product เป็น <math>|\psi\rangle</math><math>\langle\psi|</math> ซึ่งจะแสดงตัวดำเนินการที่เรียกว่า rank-one operator เป็นไปตามสมการ
:<math> (|\phi\rang \lang \psi|)(x) = \lang \psi | x \rang |\phi \rang</math>
สำหรับ vector space มิติจำกัดสามารถเขียนในรูปของการคูณแบบเมทริกซ์ได้ดังนี้
:<math> |\phi \rangle \, \langle \psi | {\doteq \!\,}
\begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \vdots \\ \phi_N \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \psi_1^* & \psi_2^* & \cdots & \psi_N^* \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\phi_1 \psi_1^* & \phi_1 \psi_2^* & \cdots & \phi_1 \psi_N^* \\
\phi_2 \psi_1^* & \phi_2 \psi_2^* & \cdots & \phi_2 \psi_N^* \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\phi_N \psi_1^* & \phi_N \psi_2^* & \cdots & \phi_N \psi_N^* \end{pmatrix}
</math>
ซึ่ง outer product ของตัวดำเนินการจะได้ออกมาเป็นเมทริกซ์ N× N มิติ
| |||