ผลต่างระหว่างรุ่นของ "กระบวนการอะเดียแบติก"
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
Nullzerobot (คุย | ส่วนร่วม) ล เก็บกวาด |
Nullzerobot (คุย | ส่วนร่วม) ล เก็บกวาด |
||
บรรทัด 6:
== กระบวนการอะเดียแบติกของแก๊สอุดมคติ ==
กระบวนการอะเดีบแบติกของ[[แก๊สอุดมคติ]]สามารถเขียนเป็นสมการได้คือ
: <math> P V^{\gamma} = \operatorname{constant} \qquad</math>
เมื่อ P คือความดัน V คือปริมาตรและ
<math>C_P</math> คือ[[ความจุความร้อนต่อโมล]]ของแก๊สเมื่อความดันคงที่ และ <math>C_V</math> คือความจุความร้อนต่อโมลเมื่อปริมาตรคงที่
<math>\alpha</math> คือจำนวนรูปแบบอิสระในการเคลื่อนที่ของโมเลกุล (Degrees of freedom) (<math>\alpha</math> เป็น 3/2 ในแก๊ส[[อะตอม]]เดี่ยว 5/2 ในแก๊สอะตอมคู่ และ 3 ในแก๊สที่โมเลกุลซับซ้อน) ดังนั้น ในแก๊สอุดมคติอะตอมเดี่ยว ค่า γ จะเป็น 5/3 ส่วนแก๊สอะตอมคู่ เช่น[[ออกซิเจน]]หรือ[[ไนโตรเจน]] จะมีค่า γ เป็น 7/5
<br /><br />
นอกจากนี้ ในกระบวนการอะเดียแบติก ยังสามารถสรุปได้ว่า
: <math>VT^\alpha = \operatorname{constant}</math>
: <math>TV^{\gamma-1}= \operatorname{constant}</math>
เมื่อ T เป็น[[อุณหภูมิ]]ในหน่วย[[เคลวิน]]
== พิสูจน์สมการ ==
จากความหมายของกระบวนการอะเดียแบติก คือ ความร้อนที่ถ่ายเทเป็น 0 จาก[[กฎข้อที่หนึ่งของอุณหพลศาสตร์]] จะได้ว่า
: <math>d U + \delta W = \delta Q = 0 \qquad \qquad \qquad (1) </math>
เมื่อ dU คือพลังงานภายในของระบบที่เปลี่ยนแปลง และ δW คืองานที่ระบบทำ งานทั้งหมดจะต้องถูกใช้เพื่อเป็นพลังงานภายใน ซึ่งานที่ระบบทำนั้นสามารถหาได้จาก[[ความดัน]]และ[[ปริมาตร]] คือ
: <math>\delta W = P dV. \qquad \qquad \qquad (2) </math>
แต่จากสมการนี้ P ไม่ได้เป็นค่าคงที่ในระหว่างเกิดกระบวนการนี้ แต่จะขึ้นอยู่กับ V จึงจำเป็นต้องทราบความสัมพันธ์ของ dP และ dV
: <math>C_{V} = \alpha R\,</math>
เมื่อ R เป็น[[ค่าคงที่ของแก๊ส]] มีค่าประมาณ 8.314 J/mol.K
: <math>d U = \alpha n R d T = \alpha d (P V) = \alpha (P d V + V d P). \qquad (3) </math>
แทนสมการ (2) และ (3) ในสมการ (1) จะได้
: <math>-P d V = \alpha P d V + \alpha V d P \,</math>
: <math>- (\alpha + 1) P d V = \alpha V d P \,</math>
หารทั้งสองข้างด้วย PV
: <math>- (\alpha + 1) {d V \over V} = \alpha {d P \over P}.</math>
จากแคลคูลัส จะได้เป็น
: <math>- (\alpha + 1) d (\ln V) = \alpha d (\ln P) \,</math>
: <math>{\ln P - \ln P_0 \over \ln V - \ln V_0 } = -{\alpha + 1 \over \alpha}</math>
เมื่อ P0 และ V0 เป็นสถานะเริ่มต้นของระบบ
: <math>{\ln (P/P_0) \over \ln (V/V_0)} = -{\alpha + 1 \over \alpha},</math>
: <math>\ln \left ( {P \over P_0} \right) =\ln \left ( {V \over V_0} \right) ^{-{\alpha + 1 \over \alpha}}.</math>
: <math>\left ( {P \over P_0} \right) = \left ( {V \over V_0} \right) ^{-{\alpha + 1 \over \alpha}},</math>
: <math>\left ( {P \over P_0} \right) = \left ( {V_0 \over V} \right) ^{\alpha + 1 \over \alpha}.</math>
: <math>\left ( {P \over P_0} \right) \left ( {V \over V_0} \right) ^{\alpha+1 \over \alpha} = 1</math>
: <math>P V^{\alpha+1 \over \alpha} = P_0 V_0^{\alpha+1 \over \alpha} = P V^\gamma = \operatorname{constant}.</math>
{{โครง}}
| |||