ผลต่างระหว่างรุ่นของ "จำนวนสมบูรณ์"

[[ยุคลิด]]ได้ค้นพบว่า จำนวนสมบูรณ์สี่ตัวแรกนั้นสามารถหาโดยใช้สูตร 2^{''n''−−1}(2^''n'' −− 1) ได้

:สำหรับ ''n'' = 2:   2¹(2² −− 1) = 6

:สำหรับ ''n'' = 3:   2²(2³ −− 1) = 28

:สำหรับ ''n'' = 5:   2⁴(2⁵ −− 1) = 496

:สำหรับ ''n'' = 7:   2⁶(2⁷ −− 1) = 8128

สังเกตว่าในแต่ละตัวอย่างที่ยกมา 2^''n'' −− 1 จะเป็น[[จำนวนเฉพาะ]]เท่านั้น ยุคลิดได้พิสูจน์ว่า ถ้า 2^''n'' −− 1 เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว สูตร 2^{''n''−−1}(2^''n'' −− 1) จะให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนสมบูรณ์คู่เสมอ

นักคณิตศาสตร์สมัยก่อน ได้ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับจำนวนสมบูรณ์จากจำนวนสมบูรณ์ที่เขารู้เพียง 4 ตัว ซึ่งสมมติฐานที่เขาได้ตั้งส่วนใหญ่จะผิด เช่น สมมติฐานที่ว่า เพราะว่า ''n'' = 2, 3, 5, 7 เป็นจำนวนเฉพาะ 4 ตัวแรก ที่นำไปแทนในสูตรแล้วได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนสมบูรณ์ ดังนั้น ''n'' = 11 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะตัวที่ 5 จะทำให้ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนสมบูรณ์เช่นกัน อย่างไรก็ตาม 2¹¹ −− 1 = 2047 = 23 · 89 ซึ่งไม่เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น สมมติฐานนี้จึงผิด '''สมมติฐานที่ผิด'''อีกสองข้อ ได้แก่