|
[[ไฟล์:Square root of 2 triangle.png|thumb|200px|กรณฑ์รากที่สองของสองทีค่าเท่ากับความยาวของ[[ด้านตรงข้ามมุมฉาก]]ของ[[สามเหลี่ยมมุมฉาก]]ที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 1 หน่วย]]
'''กรณฑ์รากที่สองของสอง''' หรือที่รู้จักในชื่อ '''ค่าคงตัวของพีทาโกรัส''' เขียนแทนด้วย √2 เป็น[[จำนวนจริง]]บวกที่เมื่อคูณกับตัวเองแล้วจะมีค่าเท่ากับ 2 มีค่าประมาณ 1.414213562373095
ในทางเรขาคณิต กรณฑ์รากที่สองของสองคือความยาวของเส้นทแยงมุมของ[[รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส]]ที่มีความยาวด้าน 1 หน่วย ความยาวนี้เป็นไปตาม[[ทฤษฎีบทพีทาโกรัส]] ซึ่งรากที่สองของสองนี้ถือเป็น[[จำนวนอจำนวนอตรรกยะ]]จำนวนแรกที่เป็นที่รู้จัก
== ประวัติ ==
จากหลักฐานบันทึกบนก้อนโคลนของชาว[[บาบิโลเนีย|บาบิโลน]]เผยให้เห็นค่าประมาณของ<math>\sqrt2</math> ในรูปผลบวกของเลขพหุคูณของ <math>\frac{1}{60}</math> จำนวน 4 พจน์ ซึ่งมีค่าใกล้เคียงถึงทศนิยมตำแหน่งที่หก <ref>Fowler and Robson, p. 368.<br />[http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html Photograph, illustration, and description of the ''root (2) '' tablet from the Yale Babylonian Collection]<br />[http://www.math.ubc.ca/%7Ecass/Euclid/ybc/ybc.html High resolution photographs, descriptions, and analysis of the ''root (2) '' tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection]</ref>
:<math>1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421\overline{296}.</math>
บันทึกในหนังสือ Sulbasutras ของชาว[[อินเดีย]]โบราณ (800-200 ปีก่อนคริสตกาล) ได้กล่าวถึงค่าประมาณของรากที่สองไว้คือ เป็นการเพิ่มความยาว (ของด้าน) ด้วยหนึ่งในสามเท่าของค่านั้น แล้วเพิ่มด้วยหนึ่งในสี่เท่าของหนึ่งในสามเท่าค่านั้น แล้วเพิ่มด้วยหนึ่งในสามสิบสี่เท่าของค่าหนึ่งในสี่เท่าค่านั้น<ref> Henderson.</ref>:-
:<math>1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1.414215686.</math>
การค้นพบ[[จำนวนอตรรกยะ]]นี้ ถือเป็นผลงานที่สำคัญของ[[ฮิปปาซุส]] (ศิษย์ในสำนักของ[[ปีทากอรัส]]) ซึ่งเป็นผู้ที่พิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของกรณฑ์รากที่สองของสอง เป็นที่เชื่อกันตามคำกล่าวว่า[[ปีทากอรัส]]เชื่อในความสมบูรณ์แบบของจำนวนและทำให้ไม่ยอมรับในการค้นพบ[[จำนวนอตรรกยะ]] ถึงแม้ว่า[[ปีทากอรัส]]จะไม่สามารถพิสูจน์ความไม่มีอยู่ของจำนวนอตรรกยะได้ แต่เขาก็ได้สั่งลงโทษประหาร[[ฮิปปาซุส]]โดยการกดน้ำ<ref name=wp>[http://www.washingtonpost.com/wp-srv/style/longterm/books/chap1/mysteryaleph.htm Washingtonpost.com: The Mystery Of The Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity]</ref> ตำนานอื่นเล่าว่าเขาถูกฆ่ากดน้ำโดยศิษย์คนอื่นของ[[ปีทากอรัส]]<ref name=wp>[http://www.washingtonpost.com/wp-srv/style/longterm/books/chap1/mysteryaleph.htm Washingtonpost.com: The Mystery Of The Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity]</ref> หรืออาจถูกขับออกจากสำนัก<ref name=wp /><ref>[http://scienceworld.wolfram.com/biography/Hippasus.html Hippasus of Metapontum (ca. 500 BC) - from Eric Weisstein's World of Scientific Biography]</ref>
== วิธีการคำนวณ ==
นักคณิตศาสตร์ได้ค้นหาวิธีการคำนวณกรณฑ์รากที่สองของสองในรูปแบบต่างๆ กันเพื่อเขียนค่าประมาณใกล้เคียงของกรณฑ์รากที่สองของสองออกมาในรูปของ[[อัตราส่วน]]ของ[[จำนวนเต็ม]]หรือ[[เลขทศนิยม]] หนึ่งในวิธีการที่ถือว่าเป็นเบื้องต้นที่สุดคือ[[อัลกอริทึม]]ของอัลกอริธึมของ[[บาบิโลเนียน]]เพื่อคำนวณรากที่สองของสอง<ref>Although the term "Babylonian method" is common in modern usage, there is no direct evidence showing how the Babylonians computed the approximation of √2 seen on tablet YBC 7289. Fowler and Robson offer informed and detailed conjectures.<br />Fowler and Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.</ref> ซึ่งถือเป็นพื้นฐานการคำนวณของคอมพิวเตอร์และเครื่องคิดเลข อัลกอริทึมอัลกอริธึมเพื่อหากรณฑ์รากที่สอง (อาจใช้เพื่อหากรณฑ์รากที่สองของจำนวนใดๆ ไม่เฉพาะของสอง) ดังกล่าวสามารถทำได้ดังนี้
* เลือก ''a<sub>0</sub>'' >0 ค่า a<sub>0</sub> ที่เลือกนี้จะมีผลกระทบต่อความเร็วใน[[การลู่เข้าสัมบูรณ์|การลู่เข้า]]สู่ค่าของ √2 ในระดับความแม่นยำหนึ่งเท่านั้น
* ใช้ฟังก์ชัน[[การเรียกซ้ำ|เรียกตัวเอง]]เพื่อคำนวณ a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>n</sub><br />
::<math>a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n} </math>
* ตัวอย่างการคำนวณคำนวนโดยเลือก a<sub>0</sub>=1 ได้ผลดังนี้
::{|
เดือนกุมภาพันธ์ปี ค.ศ.2006 ความท้าทายในการคำนวณค่าของ √2 ได้ถูกทำให้หมดไปด้วยการใช้คอมพิวเตอร์บ้าน ชิเกรุ คอนโดได้คำนวณค่าประมาณใกล้เคียงของ √2 ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 200,000,000,000 ในเวลา 13 วัน 14 ชั่วโมง โดยใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลขนาด 3.6 GHz และหน่วยความจำ 16 Gb<ref>http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html Constants and Records of Computation</ref>
อย่างไรก็ดี เป็นที่ยอมรับกันทั่วไปว่าในจำนวนค่าคงตัวอตรรกยะทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ที่ถือเป็นความท้าทายต่อนักคณิตศาสตร์ที่จะเขียนในรูปของทศนิยมไม่รู้จบ ค่า [[พาย (ค่าคงตัว)pi|π]] ดูจะเป็นจำนวนที่ถูกประมาณได้แม่นยำละเอียดสูงสุด<ref>[http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html Number of known digits]</ref>
==การพิสูจน์ความเป็นอตรรกยะ==
==ขนาดกระดาษ==
√2 ถูกใช้เป็นค่าสัดส่วนของการผลิตกระดาษตามมาตรฐาน [[ISO_216]] (A4,A3,A0,ฯลฯ)สัดส่วนนี้ถูกตั้งขึ้นเพื่อให้แน่ใจว่าทุกครั้งที่ทำการตัดครึ่งตามขวางกระดาษที่มีสัดส่วนเท่ากับ √2 กระดาษที่ถูกตัดจะยังคงมีสัดส่วนยาว:กว้างคงที่ คือ เป็น√2 เท่าเดิม
== ความสับสนในภาษาไทย ==
คำว่า ''ราก'' ในทาง[[คณิตศาสตร์]]นั้น มีความหมายในเชิงผลลัพธ์ที่ได้จากการแก้[[สมการ]]ทางคณิตศาสตร์ การกล่าวถึง ''รากที่สองของสอง'' จึงมีความหมายเดียวกับผลลัพธ์ของสมการ x<sup>2</sup>=2 นั่นคือ +√2 และ -√2
เครื่องหมาย ''กรณฑ์'' ในทาง[[คณิตศาสตร์]] ใช้เพื่อเรียกเครื่องหมาย square root หรือ √ การกล่าวถึง ''กรณฑ์ที่สองของสอง'' จึงเป็นการหมายถึง รากที่สอง''ที่เป็นบวก''ของสอง นั่นคือ +√2 เท่านั้น
อย่างไรก็ดีในปัจจุบัน การเรียก '''รากที่สองของสอง''' ถูกเข้าใจกันโดยทั่วไปว่าหมายถึงรากที่สองที่เป็นบวกของสองแต่เพียงอย่างเดียว เพื่อป้องกันความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนจึงจำเป็นต้องอาศัยบริบทในการพิจารณา
== อ้างอิง ==
{{รายการอ้างอิง}}
[[หมวดหมู่:ค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์]]
[[หมวดหมู่:จำนวนอตรรกยะ]]
[[ar:ثابت فيثاغورس]]
| 