ผลต่างระหว่างรุ่นของ "การอ้างเหตุผลแนวทแยงของคันทอร์"
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) ล วิธีการแนวทแยงของคันทอร์ ถูกเปลี่ยนชื่อเป็น การอ้างเหตุผลแนวทแยงของคันทอร์ |
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) ล แทนที่ "วิธีการแนวทแยงของคันทอร์" → "การอ้างเหตุผลแนวทแยงของคันทอร์" +เก็บกวาดด้วย[[WP:iScript|สจ |
||
บรรทัด 1:
{{รอการตรวจสอบ}}
'''
วิธีการแนวทแยง ไม่ได้เป็นการพิสูจน์การนับไม่ได้ของจำนวนจริงอันแรกของคันทอร์ แต่เป็นการพิสูจน์ที่เผยแพร่หลัง 3 ปีของการพิสูจน์อันแรก วิธีการพิสูจน์อันแรกของเขาไม่เกี่ยวข้องกับการกระจายทศนิยม หรือ[[ระบบตัวเลข]]
บรรทัด 6:
ตั้งแต่ที่มีการใช้วิธีพิสูจน์นี้ ได้มีการพิสูจน์ที่คล้ายๆกันอีกหลายแบบ ซึ่งเรียกว่าเป็นวิธีการแนวทแยง โดยดูจากวิธีที่ใช้ในการพิสูจน์
== จำนวนจริง ==
การพิสูจน์ของคันทอร์ แสดงให้เห็นว่า [[ช่วง]] [0,1] ไม่เป็น อนันต์นับได้
บรรทัด 16:
# เรารู้ว่าจำนวนเหล่านี้สามารถเขียนในรูป[[การกระจายทศนิยม]]ได้
# เราจะเรียงจำนวนให้เป็นแถว ในกรณีที่การกระจายทศนิยมเป็น 0.499 ... = 0.500 ..., เราจะเลือกอันที่ลงท้ายด้วย 9. จากตัวอย่าง การกระจายทศนิยมที่เริ่มต้นของลำดับเป็นดังนี้
# : ''r''<sub>1</sub> = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...
# : ''r''<sub>2</sub> = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...
# : ''r''<sub>3</sub> = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...
# : ''r''<sub>4</sub> = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...
# : ''r''<sub>5</sub> = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...
# : ''r''<sub>6</sub> = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...
# : ''r''<sub>7</sub> = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...
# : ...
# เราจะสร้างจำนวนจริง ''x'' ซึ่งอยู่ใน [0,1] โดยการพิจารณา เลขหลักที่ ''k'' หลังจุดทศนิยมของการกระจายทศนิยมของ ''r''<sub>''k''</sub> ซึ่งเราจะขีดเส้นใต้และทำตัวหนาเอาไว้ การพิสูจน์นี้จึงมีชื่อเรียกว่า '''การพิสูจน์แนวทแยง'''
# : ''r''<sub>1</sub> = 0 . <u>'''5'''</u> 1 0 5 1 1 0 ...
# : ''r''<sub>2</sub> = 0 . 4 <u>'''1'''</u> 3 2 0 4 3 ...
# : ''r''<sub>3</sub> = 0 . 8 2 <u>'''4'''</u> 5 0 2 6 ...
# : ''r''<sub>4</sub> = 0 . 2 3 3 <u>'''0'''</u> 1 2 6 ...
# : ''r''<sub>5</sub> = 0 . 4 1 0 7 <u>'''2'''</u> 4 6 ...
# : ''r''<sub>6</sub> = 0 . 9 9 3 7 8 <u>'''3'''</u> 8 ...
# : ''r''<sub>7</sub> = 0 . 0 1 0 5 1 3 <u>'''5'''</u> ...
# : ...
# จากทศนิยมเหล่านี้ เราจะนิยามทศนิยมของ ''x'' ดังนี้
#* ถ้าเลขหลักที่ ''k'' ของ ''r''<sub>''k''</sub> เป็น 5 แล้ว เลขหลักที่ ''k'' ของ ''x'' เป็น 4
#* ถ้าเลขหลักที่ ''k'' ของ ''r''<sub>''k''</sub> ไม่เป็น 5 แล้ว เลขหลักที่ ''k'' ของ ''x'' เป็น 5
# ดังนั้น ''x'' จึงเป็นจำนวนจริง (เพราะว่าการกระจายทศนิยมอยู่ในรูปจำนวนจริง) ที่อยู่ในช่วง [0,1]. จากตัวอย่างข้างบน เราจะได้การกระจายทศนิยมดังนี้
# : ''x'' = 0 . 4 5 5 5 5 5 4 ...
# เรารู้ว่าจะต้องมี ''n'' ที่ทำให้ ''r''<sub>''n''</sub> = ''x'' เพราะว่าเรากำหนดให้ ( ''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, ''r''<sub>3</sub>, ... ) แจงจำนวนจริงทั้งหมดในช่วง [0,1]
# แต่ว่าการเลือกเลข 4 และเลข 5 ของ ''x'' ในข้อ (6) จะทำให้ ''x'' จะแตกต่างในหลักที่ ''n'' ของ ''r''<sub>''n''</sub> ดังนั้น ''x'' ไม่อยู่ในลำดับ ( ''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, ''r''<sub>3</sub>, ... )
บรรทัด 43:
# ดังนั้น สมมติฐาน (1) ที่ว่าช่วง [0,1] เป็นอนันต์นับได้ จึงเป็นเท็จ
บทพิสูจน์นี้แสดงให้เห็นว่าเซต <b>R</b> ของจำนวนจริงทั้งหมดนั้นนับไม่ได้. ถ้า <b>R</b> นับได้แล้ว เราจะแจงจำนวนจริงทั้งหมดให้อยู่ในลำดับนี้ได้ และทำให้เป็นลำดับ [0,1] โดยการลบจำนวนจริงที่อยู่นอกช่วงนี้ออกไป แต่เราเห็นแล้วว่าไม่สามารถทำได้. นอกจากนี้ เราจะแสดงให้เห็นว่า [0,1] และ <b>R</b> มีขนาดเท่ากันโดยการสร้าง[[ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง]]ระหว่างกัน ซึ่งอาจจะไม่สะดวกสำหรับการทำในช่วง [0,1]; สำหรับช่วงเปิด (0,1) เราจะให้ <math>f\colon (0,1) \rightarrow\mathbb{R}</math>
โดยนิยามว่า <math>f (x) = \tan\left (\pi\left (x-\frac{1}{2}\right) \right) </math>.
| |||