วิกิพีเดีย

ผลต่างระหว่างรุ่นของ "E (ค่าคงตัว)"

เรียกดูประวัติแบบโต้ตอบ
← การแก้ไขก่อนหน้าการแก้ไขถัดไป →
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
เห็นภาพข้อความวิกิ
D^p8tttttt887^ggg123 (คุย | ส่วนร่วม)
การแก้ไข 51 ครั้ง
→‎ความน่าจะเป็น: ----> ใส่"ลิงก์"บทความ
ป้ายระบุ: ถูกย้อนกลับแล้ว
Prame tan (คุย | ส่วนร่วม)
การแก้ไข 677 ครั้ง
ย้อนการก่อกวน 3 ครั้งของ D^p8tttttt887^ggg123 (พูดคุย) ไปยังรุ่นโดย 110.170.246.10 ด้วยสจห.
ป้ายระบุ: ทำกลับ
บรรทัด 1:
{{ลิงก์ไปภาษาอื่น}}
{{DISPLAYTITLE:''e'' (ค่าคงตัว)}}
'''''e''''' เป็น[[ค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์]] ที่เป็นฐานของ[[ลอการิทึมธรรมชาติ]] มีค่าประมาณ 2.71828<ref>{{Cite encyclopedia|title=natural logarithms [Napierian logarithms] ลอการิทึมฐาน e|date=2013|encyclopedia=พจนานุกรมศัพท์วิทยาศาสตร์-คณิตศาสตร์ สสวท. อังกฤษ-ไทย|publisher=บริษัท อินเตอร์เอดูเคชั่น ซัพพลายส์ จำกัด|authorlink=สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี|isbn=978-616-7736-02-0|page=79|last1=สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)}}</ref> สามารถนิยามได้หลายวิธี เช่น e เป็น[[จำนวนจริง]]ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า [[ฟังก์ชัน]] <math>e^x</math> มีค่าเท่ากับ[[อนุพันธ์|ความชัน]] (derivative) ของตัวเองสำหรับทุก[[จำนวนจริง]] x หรือกล่าวได้ว่า [[อนุพันธ์]]ของฟังก์ชันดังกล่าวมีค่าเท่ากับตัวมันเองเสมอ ซึ่ง[[ฟังก์ชัน]]ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้จะอยู่ในรูป <math>ke^x</math> เมื่อ k เป็นค่าคงตัวใด ๆ นอกจากนี้ e ยังมีค่าเท่ากับ<math>\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> ซึ่งเป็นสมการที่พบในการคำนวณเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น (Compound interest) นอกจากนี้ <math>e</math> สามารถคำนวณได้โดยสูตร[[อนุกรม]]อนันต์ (Infinite series) นี้:<ref>[[:en:Encyclopedic_Dictionary_of_Mathematics|Encyclopedic Dictionary of Mathematics]] 142.D</ref>
 
<math>e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{1\cdot2\cdot3} + ...</math>
บรรทัด 9:
ส่วน[[ลอการิทึมธรรมชาติ]] (Natural logarithm) หรือ ลอการิทึมฐาน e (Logarithm to base e) คือ [[:en:Inverse_function|ฟังก์ชันที่ผกผัน]]กับฟังก์ชันเอ็กโพเนเนเชียล ลอการิทึมธรรมชาติของเลขที่มากกว่า 1 (k>1) สามารถหาได้โดยตรงจาก[[ปริพันธ์|พื้นที่ใต้กราฟ]]ของฟังก์ชัน <math>f(x)=1/x</math> ระหว่าง x=1 และ x=k ยกตัวอย่างเช่น เมื่อ k = e พื้นที่ใต้กราฟระหว่าง 1 และ e จะเท่ากับ ln(e) (ลอการิทึมธรรมชาติของ e) หรือ 1[[ไฟล์:Hyperbola E.svg|thumb|กราฟสมการ ''y'' = 1/''x'' ในที่นี้ e คือตัวเลขเดียวจากเลขหนึ่ง ที่ทำให้[[ปริพันธ์|พื้นที่ใต้กราฟ]]มีค่าเท่ากับ 1|209x209px]]e มักแรียกกันว่า '''จำนวนของออยเลอร์''' (Euler's number) (ระวังสับสนกับ γ, [[ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี]]) ตามนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส [[เลออนฮาร์ด ออยเลอร์]] (Leonhard Euler) ผู้ริเริ่มการใช้สัญลักษณ์ e เพื่อแทนจำนวนนี้ และเป็นคนแรกที่ศึกษาสมบัติของจำนวนนี้อย่างละเอียด e ยังมีอีกชื่อหนึ่งว่า '''คือค่าคงตัวเนเปียร์''' ตาม[[:en:John_Napier|จอห์น เนเปียร์]] (John Napier) นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตผู้ค้นพบ[[ลอการิทึม]] อนึ่งค่า e ถูกค้นพบครั้งแรกโดย [[:en:Jacob_Bernoulli|ยาค็อบ แบร์นูลลี]] (Jacob Bernoulli) นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ในการศึกษาเรื่องดอกเบี้ยทบต้น<ref>O'Connor, J J; Robertson, E F. "[http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html The number ''e'']". MacTutor History of Mathematics.</ref>
 
''e'' เป็นจำนวนที่มีความสำคัญมากใน[[คณิตศาสตร์]] โดย e เป็น[[จำนวนอตรรกยะ]] และ [[จำนวนอดิศัย]] เหมือนกับค่า <math>\pi</math> โดยค่าคงตัวทั้งสองนี้ ประกอบกับ 0 1 และ [[หน่วยจินตภาพ|<math>i</math>]] มีบทบาทที่สำคัญมากในวิชาคณิตศาสตร์ และ มักปรากฏตัวในสมหารทางคณิตศาสตร์ โดยมีสมการหนึ่งที่รวมค่าคงตัวทั้งห้านี้เอาไว้ในสมการเดียว เรียกว่า [[เอกลักษณ์ของออยเลอร์]] อันได้ชื่อว่าเป็นสมการที่สวยงามที่สุดในคณิดศาสตร์<ref>{{Cite book|last=Pickover|first=Clifford A.|title=The Math Book|year=2009|ISBN=978-1-4027-8829-1|chapter=Euler's Number, e|pages=166}}</ref>
 
ค่า ''e'' ที่ปัดเป็นเลขทศนิยม 50 หลัก เท่ากับ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...(ลำดับ [[oeis:A001113|A001113]] ใน [[oeis:|OEIS]]).
บรรทัด 15:
== การประยุกต์ใช้ e ==
=== การคิดดอกเบี้ยทบต้น ===
[[:en:Jacob_Bernoulli|ยาค็อบ แบร์นูลลี]] (Jacob Bernoulli)ค้นพบค่า <math>e</math>ในปี 1683 ในการศึกษาปัญหาเกี่ยวกับ[[ดอกเบี้ยทบต้น]] ลักษณะดังนี้:
 
{{คำพูด|สมมุติว่า[[บัญชี]]ธนาคารมีเงิน 1 บาทและได้รับ[[ดอกเบี้ย]][[ร้อยละ]] 100 ต่อปี แน่นอนว่าถ้า[[ดอกเบี้ย]]มีการทบต้นทุก ๆ [[ปี]] สิ้นปีนี้ใน[[บัญชี]]นี้จะมีเงินอยู่ 2 บาท แต่หากดอกเบี้ยมีการทบต้นด้วย[[ความถี่]]มากกว่านี้ จำนวน[[เงิน]]ใน[[บัญชี]]จะเป็นอย่างไร?}}
 
หากทบทุก 6 [[เดือน]] จะได้สองครั้ง ครั้งละ 50% นั่นคือ 1 บาท ตอนแรกจะคูณ 1.5 สองครั้ง ได้ 1.5<sup>2</sup> = 2.25 บาท หากทบทุก 3 เดือนก็จะคูณ 1.25 สี่ครั้ง ได้ 1.25<sup>4</sup> = 2.44140625 บาท หากทบรายเดือนก็จะได้ (1+1/12)<sup>12</sup> = 2.613035... บาท และยิ่งถี่ขึ้นก็จะได้เงินมากขึ้นไปอีก โดยถ้าทบต้น <math>n</math>ครั้งต่อปี จะได้ดอกเบี้ยครั้งละ <math>100\%/n</math>และเมื่อจบปีก็จะมีเงิน <math>(1+1/n)^n</math>บาท
 
แบร์นูลลีสังเกตว่าการเพิ่มขึ้นเมื่อทบต้นถี่ขึ้นนี้มีขีดจำกัด โดยเมื่อทบต้นอย่างต่อเนื่องจะมีเงินเมื่อจบปีมากที่สุดที่เป็นไปได้ด้วยดอกเบี้ยอัตรานี้ ก็คือ ค่า <math>e</math> นั่นเอง ในทำนองเดียวกัน บัญชีใด ๆ ที่เริ่มต้นด้วย[[เงิน]] <math>N</math>บาท และได้[[ดอกเบี้ย]]อย่างต่อเนื่องด้วยอัตรา <math>R</math> ต่อปี จะมีเงินจำนวน <math>Ne^{Rt}</math>เมื่อเวลาผ่านไป <math>t</math> ปี (ในที่นี้ R เป็นจำนวนทศนิยมของอัตราดอกเบี้ย เสมือนการใช้ % ยกตัวอย่างเช่น ดอกเบี้ยเงินกู้ 5%, R = 0.05)
 
=== '''การแจกแจงปรกติมาตรฐาน (สถิติศาสตร์)''' ===
บรรทัด 30:
เมื่อ <math>\sigma</math> เป็น[[ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน|ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน]]และ <math>\mu </math> เป็น[[มัชฌิมเลขคณิต|ค่าเฉลี่ย]]
 
=== [[ความน่าจะเป็น]] ===
ในวิชา[[ความน่าจะเป็น]] พบ ''e'' ในปัญหาเกี่ยวกับการสลับคู่ ดังนี้<ref>Grinstead, C.M. and Snell, J.L.''[http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html Introduction to probability theory] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110727200156/http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html |date=2011-07-27 }}'' (published online under the [[GFDL]]), p.&nbsp;85.</ref>: สมมุติว่ามีแขกร่วมงานเลี้ยง n คน เดินเข้าประตูมาแล้วฝากหมวกของตนเองไว้กับคนใช้ ซึ่งนำหมวกเหล่านี้ไปใส่ในกล่อง n ใบ โดยหมวกและกล่องแต่ละใบมีชื่อของแขกแต่ละคน แต่คนใช้ไม่ทราบชื่อของแขกแต่ละคน จึงนำหมวกเหล่านี้ใส่ในกล่องอย่างสุ่ม [[ความน่าจะเป็น]]ที่'''''ไม่มี'''''หมวกใบไหนเลย ที่อยู่ในกล่องที่ถูกต้อง คิดเป็น
 
<math>p_n = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + ... = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k}</math>
 
ซึ่งเมื่อจำนวนแขก <math>n</math>เพิ่มสู่[[อนันต์]]แล้ว [[ความน่าจะเป็น]]นี้จะลู่เข้าหา <math>1/e</math>
 
=== การประมาณของสเตอร์ลิง ===
เข้าถึงจาก "https://th.wikipedia.org/wiki/E_(ค่าคงตัว)"