ผู้ใช้:Robosorne/กระบะทราย 9

Realization, in the system theory context refers to a state space model implementing a given input-output behavior. That is, given an input-output relationship, a realization is a quadruple of (time-varying) matrices $[A(t),B(t),C(t),D(t)]$ such that

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)$

$\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)$

with $(u(t),y(t))$ describing the input and output of the system at time $t$.

LTI System

For a linear time-invariant system specified by a transfer matrix, $H(s)$, a realization is any quadruple of matrices $(A,B,C,D)$ such that $H(s)=C(sI-A)^{-1}B+D$.

Canonical realizations

Any given transfer function which is strictly proper can easily be transferred into state-space by the following approach (this example is for a 4-dimensional, single-input, single-output system)) :

Given a transfer function, expand it to reveal all coefficients in both the numerator and denominator. This should result in the following form:

$H(s)={\frac {n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}$.

The coefficients can now be inserted directly into the state-space model by the following approach:

${\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}-d_{1}&-d_{2}&-d_{3}&-d_{4}\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)$

${\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}&n_{4}\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)$.

This state-space realization is called controllable canonical form (also known as phase variable canonical form) because the resulting model is guaranteed to be controllable (i.e., because the control enters a chain of integrators, it has the ability to move every state).

The transfer function coefficients can also be used to construct another type of canonical form

${\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}-d_{1}&1&0&0\\-d_{2}&0&1&0\\-d_{3}&0&0&1\\-d_{4}&0&0&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\\n_{4}\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)$

${\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)$.

This state-space realization is called observable canonical form because the resulting model is guaranteed to be observable (i.e., because the output exits from a chain of integrators, every state has an effect on the output).

General System

$D=0$

If we have an input $u(t)$, an output $y(t)$, and a weighting pattern $T(t,\sigma )$ then a realization is any triple of matrices $[A(t),B(t),C(t)]$ such that $T(t,\sigma )=C(t)\phi (t,\sigma )B(\sigma )$ where $\phi$ is the state-transition matrix associated with the realization.

System identification

บทความหลัก: System identification

System identification techniques take the experimental data from a system and output a realization. Such techniques can utilize both input and output data (e.g. eigensystem realization algorithm) or can only include the output data (e.g. frequency domain decomposition). Typically an input-output technique would be more accurate, but the input data is not always available.

References

In mathematics, a Hurwitz matrix, or Routh-Hurwitz matrix, in engineering stability matrix, is a structured real square matrix constructed with coefficients of a real polynomial.

Hurwitz matrix and the Hurwitz stability criterion

Namely, given a real polynomial

$p(z)=z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}$

the $n\times n$ square matrix

$H(p):={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&a_{7}&\ldots &0\\1&a_{2}&a_{4}&a_{6}&\ldots &0\\0&a_{1}&a_{3}&a_{5}&\ldots &0\\0&1&a_{2}&a_{4}&\ldots &0\\0&0&a_{1}&a_{3}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\ldots &a_{n}\\\end{bmatrix}}$

is called Hurwitz matrix corresponding to the polynomial $p$. It was established by Adolf Hurwitz in 1895 that a real polynomial is stable (that is, all its roots have strictly negative real part) if and only if all the leading principal minors of the matrix $H(p)$ are positive:

${\begin{aligned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}&&=a_{1}>0\\[2mm]\Delta _{2}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\1&a_{2}\\\end{vmatrix}}&&=a_{2}a_{1}-a_{0}a_{3}>0\\[2mm]\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\1&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\\\end{vmatrix}}&&=a_{3}\Delta _{2}-a_{1}(a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5})>0\end{aligned}}$

and so on. The minors $\Delta _{k}(p)$ are called the Hurwitz determinants.

Hurwitz stable matrices

In engineering and stability theory, a square matrix $A$ is called stable matrix (or sometimes Hurwitz matrix) if every eigenvalue of $A$ has strictly negative real part, that is,

$\mathop {\mathrm {Re} } [\lambda _{i}]<0\,$

for each eigenvalue $\lambda _{i}$. $A$ is also called a stability matrix, because then the differential equation

${\dot {x}}=Ax$

is asymptotically stable, that is, $x(t)\to 0$ as $t\to \infty .$ Hurwitz matrix is named after Adolf Hurwitz.

If $G(s)$ is a (matrix-valued) transfer function, then $G$ is called Hurwitz if the poles of all elements of $G$ have negative real part. Note that it is not necessary that $G(s),$ for a specific argument $s,$ be a Hurwitz matrix — it need not even be square. The connection is that if $A$ is a Hurwitz matrix, then the dynamical system

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(t)=Cx(t)+Du(t)\,$

has a Hurwitz transfer function.

Any hyperbolic fixed point (or equilibrium point) of a continuous dynamical system is locally asymptotically stable if and only if the Jacobian of the dynamical system is Hurwitz stable at the fixed point.

The Hurwitz stability matrix is in crucial part on control theory. A system is stable if its control matrix is a Hurwitz matrix. The negative real components of the eigenvalues of the matrix represent negative feedback. Similarly, a system is inherently unstable if any of the eigenvalues have positive real components, representing positive feedback.

References

• Hurwitz, A. (1895). "Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt". Mathematische Annalen Nr. 46, Leipzig: 273–284. {{cite journal}}: แหล่งข้อมูลอื่นใน |journal= (help); ไม่อนุญาตให้ใช้มาร์กอัปตัวเอียงหรือตัวหนาใน: |journal= (help)
• Gantmacher, F.R. (1959). "Applications of the Theory of Matrices". Interscience, New York. 641 (9): 1–8.
• Hassan K. Khalil (2002). Nonlinear Systems. Prentice Hall.
• Siegfried H. Lehnigk, On the Hurwitz matrix, Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP) , May 1970
• Bernard A. Asner, Jr., On the Total Nonnegativity of the Hurwitz Matrix, SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 18, No. 2 (Mar., 1970)
• Dimitar K. Dimitrov and Juan Manuel Peña, Almost strict total positivity and a class of Hurwitz polynomials, Journal of Approximation Theory, Volume 132, Issue 2 (February 2005)

External links

• Hurwitz matrix on PlanetMath

ใน เรขาคณิต ทฤษฎีบทญี่ปุ่น (Japanese theorem) คือทฤษฎีที่ระบุว่า จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่บรรจุในสามเหลี่ยมหนึ่งๆได้ (incircle of a triangle) และสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมที่อยู่ภายในรูปสีเหลี่ยมใดๆที่บรรจุลงในวงกลมหนึ่งๆได้อีกทีหนึ่ง จุดศูนย์กลางของวงกลมดังที่กล่าวมาจะเป็นคือจุดยอดของสี่เหลี่ยมผืนผ้า (Vertex)

โดยไม่เสียนัยยะทั่วไป หากแบ่ง $\square ABCD$ ตามเส้นทแยงมุมของมัน เราจะได้รูปสามเหลี่ยมสี่รูปซ้อนกันอยู่ (เส้นทแยงมุมแต่ละเส้นทำให้เกิดสามเหลี่ยมขึ้นมา 2 อัน นั้นคือ $\triangle ABD,\triangle ABC,\triangle BCD,\triangle ACD$ ) จะรูปจะเห็นว่าจุดศุนย์กลางของวงกลมที่อยู่บรรจุอยุ่ภายในสามเหลี่ยมทั้งสี่ เป็นจุดยอดของสีเหลี่ยมผื้นผ้าอีกทีหนึ่ง

พิสูจน์

โดยไม่เสียนัยยะทั่วไป กำหนดให้ $\square ABCD$ คือรูปสี่เหลี่ยมใดๆที่จุดยอดอยู่ในเส้นรอบวงของวงกลมใดๆ (ดังภาพ) และกำหนดให้ $M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}$ เป็นวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถสัมผัสด้านประกอบสามเหลี่ยมใดๆทั้งสามด้านได้ (ดังภาพ) ในที่นี้ $M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}$ คือวงกลมที่สอดคล้องกับสามเหลี่ยม $\triangle ABD,\triangle ABC,\triangle BCD,\triangle ACD$ ตามลำดับ

จากรูปจะเห็นว่า $\angle ACD=\angle ABD$ เพราะเป็นมุมด้านตรงข้ามส่วนของวงกลม AD อันเดียวกัน และกำหนดให้ $\angle C=\angle B=\alpha ={\frac {AD}{2}}$

จาก $\triangle ACD$ จะพบว่า $\angle AM_{4}D=90+{\frac {\alpha }{2}}$

จาก $\triangle ADB$ จะพบว่า $\angle AM_{1}D=90+{\frac {\alpha }{2}}$

เนื่องจาก $\angle AM_{4}D=\angle AM_{1}D=90+{\frac {\alpha }{2}}$ ดังนั้น $\square AM_{1}M_{4}D$ เป็นสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม (Cyclic quadrilateral) ซึ่งในที่นี้คือวงกลมสีเขียว

เนื่องจาก $\square AM_{1}M_{4}D$ เป็นสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมแล้วดังนั้นจะได้ว่า $\angle M_{1}$ (มุมสีแดงทึบ) มีค่าเท่ากับ $\angle ADM_{4}=\angle {\frac {ADC}{2}}$ เพราะเป็นคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม (Cyclic quadrilateral)

ในทำนองเดียวกัน $\square AM_{1}M_{2}B$ เป็นสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมสีส้มดังรูป

เนื่องจาก $\square AM_{1}M_{2}B$ เป็นสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม แล้วดังนั้นจะได้ว่า $\angle M_{1}$ (มุมสีฟ้าทึบ) มีค่าเท่ากับ $\angle ABM_{2}=\angle {\frac {ABC}{2}}$ ด้วยเหตุผลเดียวกับที่อ้างข้างต้นกับมุม $\angle M_{1}$

เนื่องจาก $\square ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม ดังนั้นมุมด้านของจุดยอดตรงข้ามกันมีผลรวมเป็น 180 องศา ($\angle ABC+\angle ADC=180$)

จากข้อมูลทั้งหมดข้างต้นเราจะได้ว่ามุม $\angle M_{1}$ ที่รวมทั้งมุมแดงทึบและมุมฟ้าทึบ มีค่าเท่ากับ $\angle ABM_{2}+\angle ADM_{4}=\angle {\frac {ABC}{2}}+\angle {\frac {ADC}{2}}={\frac {\angle ABC+\angle ADC}{2}}={\frac {180}{2}}=90$ ซึ่งจะได้ว่ามุม $\angle M_{1}$ ที่รวมทั้งมุมแดงทึบและมุมฟ้าทึบ เป็นมุมฉาก

ในทำนองเดียวกับการพิสูจน์ข้างต้นเราจะพบว่า มุม $\angle M_{2}$, $\angle M_{3}$ และ $\angle M_{4}$ เป็นมุมฉากเช่นเดียวกัน

ดังนั้นแสดงว่า $\square M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}$ เป็นสี่เหลี่ยมผื่นผ้า ซตพ.

Specifically, let $\square ABCD$ be an arbitrary concyclic quadrilateral and let be $M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}$ the incenters of the triangles $\triangle ABD,\triangle ABC,\triangle BCD,\triangle ACD$. Then the quadrilateral formed by $M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}$ is a rectangle.

Note that this theorem is easily extended to prove the Japanese theorem for cyclic polygons. To prove the quadrilateral case, simply construct the parallelogram tangent to the corners of the constructed rectangle, with sides parallel to the diagonals of the quadrilateral. The construction shows that the parallelogram is a rhombus, which is equivalent to showing that the sums of the radii of the incircles tangent to each diagonal are equal.

The quadrilateral case immediately proves the general case by induction on the set of triangulating partitions of a general polygon.

See also

• Carnot's theorem
• Sangaku
• Wasan

References

• Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, Kayo Matsushita: In Search of the Japanese Theorem
• Japanese Theorem at Cut-the-Knot
• Japanese theorem, interactive proof with animation