ผู้ใช้:Oatawa1/กระบะทราย
บทนำ แก้
ในด้านวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ และ ทฤษฎีกราฟ ขั้นตอนวิธีของเอ็ดมอนด์ คาป(อังกฤษ: Edmonds-Karp algorithm) เป็นขั้นตอนวิธีการแก้ปัญหาการไหลมากสุด (อังกฤษ: Maximum flow) ใน ระบบเครือข่ายการไหล (อังกฤษ: Flow network) โดยการนำเอาวิธีการของฟอร์ด-ฟูเกอร์สัน(อังกฤษ: Ford-Fulkerson method) มาใช้ โดยทำงานได้ในระยะเวลา O(V E^2) หากเปรียบเทียบกันในเชิงเส้นแล้วจะช้ากว่า (อังกฤษ: Relabel-to-front algorithm) ซึ่งทำงานในเวลา O(V^3) แต่ในความเป็นจริงจะพบว่า ขั้นตอนวิธีของเอ็ดมอนด์-คาป จะทำงานได้ดีกว่าหากเป็น กราฟไม่หนาแน่น(อังกฤษ: sparse graphs) ขั้นตอนวิธีแก้ปัญหานี้ถูกเปิดเผยครั้งแรกในปี 1970 โดยนายไดนิก(อังกฤษ: Yefim (Chaim) Dinic) นักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซีย โดยมีชื่อว่าขั้นตอนวิธีของไดนิก(อังกฤษ: Dinic's algorithm)ซึ่งทำงานได้ในเวลา O(V^2 E) 2 ปีต่อมา(1972) นาย แจ๊ค เอ็ดมอนด์(อังกฤษ: Jack Edmonds) และ นาย ริชาร์ด คาป(อังกฤษ: Richard Karp) ได้เสนอวิธีแก้ปัญหานี้ในรูปแบบที่แตกต่างกันออกไปซึ่งถูกเรียกว่า ขั้นตอนวิธีของเอ็ดมอนด์-คาป
ขั้นตอนวิธี แก้
ขั้นตอนวิธีนี้เหมือนขั้นตอนวิธีของฟอร์ด-ฟูเกอร์สัน ยกเว้นในส่วนของการค้นหาวิถีเพิ่มพูน(อังกฤษ: Augmenting path) การค้นหาวิถีเพิ่มพูนในขั้นตอนวิธีนี้นั้น เราจะหาจากวิถีสั่นสุดที่ยังเหลือที่ว่างให้ไหลไปได้ ด้วยการค้นทางกว้าง(lang-en|: Breadth-first search}}) โดยให้แต่ละวิถีมีน้ำหนักของมันเอง โดยจะใช้เวลาทั้งหมดประมาณ O(V E^2) ซึ่งคำนวณจากการที่สามารถหาวิถีเพิ่มพูนในแต่ละครั้งได้ในเวลา O(E) ซึ่งในการทำงานแต่ละรอบนั้นจะต้องมีวิถีที่อิ่มตัว(อังกฤษ: Saturated edge) เกิดขึ้นอีกอย่างน้อย 1 วิถี จากขั้นตอนวิธีดังกล่าวจะส่งผลให้ระยะทางจากต้นกำเนิดถึงวิถีอิ่มตัวล่าสุดจะต้องมากกว่าเดิมเสมอ ขากขั้นตอนวิธีดังกล่าวเราพบว่าระยะทางของวิถีเพิ่มพูนสั้นสุดนั้นเติบโตขึ้นเป็นลำดับทางเดียว โดยอ้างอิงจากบทพิสูจน์ดังนี้
รหัสเทียม แก้
สามารถดูรายละเอียดเชิงลึกได้ที่ ขั้นตอนวิธีของฟอร์ด-ฟูเกอร์สัน(อังกฤษ: Ford-Fulkerson algorithm) algorithm EdmondsKarp
ข้อมูลนำเข้า: C[1..n, 1..n] (เมตริกความจุ) E[1..n, 1..?] (รายการผมเพื่อนบ้าน) s (ก๊อก) t (อ่าง) ข้อมูลนำออก: f (ค่าอัตราการไหลสูงสุด) F (เมตริกซึ่งแสดงค่าอัตราการไหลสูงสุดในแต่ละวิถึ) f := 0 (กำหนดค่าเริ่มต้นให้อัตราการไหล) F := array(1..n, 1..n) (ค่าความจุที่เหลือ จาก u ไป v หรือ C[u,v] - F[u,v]) forever m, P := BreadthFirstSearch(C, E, s, t) if m = 0 break f := f + m (การค้นแบบBacktrack และ สร้างวิถีการไหล) v := t while v ≠ s u := P[v] F[u,v] := F[u,v] + m F[v,u] := F[v,u] - m v := u return (f, F) ขั้นตอนวิธี ค้นทางกว้าง(BreadthFirstSearch) ข้อมูลนำเข้า: C, E, s, t 'ข้อมูลนำออก: M[t] (ความจุของวิถีที่พบ) P (ตารางบรรพบุรุษ) P := array(1..n) for u in 1..n P[u] := -1 P[s] := -2 (ตรวจสอบว่าก๊อกนี้ไม่ถูกค้นพบซ้ำ) M := array(1..n) (ค่าความจุระหว่างวิถีที่ถูกค้นพบกับปม) M[s] := ∞ Q := queue() Q.push(s) while Q.size() > 0 u := Q.pop() for v in E[u] (ถ้ายังมีความจุให้ไหลได้ และ v ยังไม่เคยถูกค้นพบมาก่อน) if C[u,v] - F[u,v] > 0 and P[v] = -1 P[v] := u M[v] := min(M[u], C[u,v] - F[u,v]) if v ≠ t Q.push(v) else return M[t], P return 0, P
ตัวอย่าง แก้
กำหนดให้เครือข่ายมี 7 ปม โดยมีจุดเริ่มต้นก๊อก A และ จบที่อ่าง G และ ความจุ ดังแสดงตามภาพด้านล่าง
ในทุกคู่ ที่ถูกเขียนบนวิถี และ คือ อัตราการไหลในปัจจุบัน และ ความจุของวิถีนั้น ตามลำดับ ค่าความจุที่เหลืออยู่จาก ไป คือ ส่วนต่างของค่าความจุของวิถีนั้นและอัตราการไหลที่ไหลผ่านวิถีดังกล่าว
ความจุ | วิถี |
---|---|
ผลลัพธ์ในระบบ | |
|
|
|
|
|
|
|
|
อ้างอิง แก้
- E. A. Dinic (1970). "Algorithm for solution of a problem of maximum flow in a network with power estimation". Soviet Math. Doklady (Doklady) 11: 1277–1280.
- Jack Edmonds and Richard M. Karp (1972). "Theoretical improvements in algorithmic efficiency for network flow problems". Journal of the ACM 19 (2): 248–264. doi:10.1145/321694.321699.
- Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest and Clifford Stein (2001). "26.2". Introduction to Algorithms (second ed.). MIT Press and McGraw–Hill. pp. 660–663. ISBN 0-262-53196-8.
- Algorithms and Complexity (see pages 63–69). http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AlgComp3.html