ปัญหาบาเซิล

ปัญหาบาเซิล เป็นปัญหาทางคณิตวิเคราะห์ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีจำนวน ปัญหานี้ถูกตั้งขึ้นครั้งแรกโดย ปิเอโตร เมนโกลี ในปี พ.ศ. 2187 และถูกแก้โดย เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ในปี พ.ศ. 2277[1] ปัญหานี้ได้ตั้งชื่อตามชื่อของเมืองบาเซิล บ้านเกิดของออยเลอร์

ปัญหาดังกล่าวเกี่ยวกับการหาผลรวมของอนุกรม

ผลรวมของอนุกรมดังกล่าวมีค่าประมาณ 1.644934 ปัญหาบาเซิลถามถึงการหาค่าที่แม่นยำในรูปแบบปิดของผลรวมดังกล่าว ออยเลอร์ค้นพบว่าผลรวมดังกล่าวมีค่าเท่ากับ π2/6 และได้ประกาศการค้นพบในปี พ.ศ. 2277

วิธีการหาผลรวมของออยเลอร์แก้ไข

วิธีการของออยเลอร์ มาจากการพิจารณาคุณสมบัติบางประการของพหุนามจำกัด แลัวสมมุติว่าคุณสมบัติเหล่านี้ยังคงเป็นจริงในกรณีอนันต์ หรืออนุกรมกำลัง

ออยเลอร์เริ่มต้นด้วยการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ ของฟังก์ชันไซน์:

 

ซึ่งออยเลอร์มองฝั่งขวาเป็นพหุนามที่มีจำนวนพจน์เป็นอนันต์ แล้วใช้คุณสมบัติที่ว่าพหุนามใด ๆ สามารถเขียนเป็นผลคูณของตัวประกอบดีกรีหนึ่งได้ ซึ่งรากของฟังก์ชันไซน์อยู่ที่   จึงได้เป็นผลคูณว่า

 

หรือเขียนอีกแบบได้เป็น

 

ซึ่งจากสมบัติว่า   เมื่อ   แสดงว่า   ดังนั้น

 

จับสัมประสิทธิ์ของ   ทั้งสองข้างมาเท่ากัน จะได้ว่า

 

สรุปได้ว่า  เป็นผลรวมของอนุกรม[2]

อ้างอิงแก้ไข

  1. Ayoub, Raymond (1974). "Euler and the zeta function". Amer. Math. Monthly. 81: 1067–86. doi:10.2307/2319041.
  2. Havil, Julian (2003). Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton University Press. p. 39. ISBN 978-0-691-17810-3.

แหล่งข้อมูลอื่นแก้ไข

  • A013661 จาก The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences®