ตัวดำเนินการในกลศาสตร์ควอนตัม

การคำนวณทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัม ถูกสร้างขึ้นตามแนวคิดของตัวดำเนินการ กล่าวคือ ปริมาณที่สังเกตหรือที่วัดได้ในทางกายภาพของอนุภาคจากการทดลอง เช่น ตำแหน่ง โมเมนตัมเชิงเส้น พลังงาน โมเมนตัมเชิงมุม เป็นต้น สามารถแทนได้ด้วยตัวดำเนินการ A ใด ๆ ในกลศาสตร์ควอนตัม หากต้องการทราบข้อมูลหรือปริมาณดังกล่าวจะต้องใช้ตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์มากระทำกับฟังก์ชันไอเกนของอนุภาคนั้น ๆ ดังนั้น ผลของการวัดจะทำให้ฟังก์ชันไอเกนของอนุภาคกลายเป็นฟังก์ชันไอเกนที่สอดคล้องกับตัวดำเนินการ ตามสมการ 

${\hat {A}}\psi =a\psi$

เมื่อ ${\hat {A}}$ เป็นตัวดำเนินการ

a เป็นค่าไอเกน (Eigenvalue) ของตัวดำเนินการ

ψ เป็นฟังก์ชันไอเกน

ฟังก์ชันคลื่น

ให้ ψ เป็นฟังก์ชันคลื่นสำหรับระบบควอนตัม โดยฟังก์ชันคลื่นจะต้องมีสมบัติ square-integrable functions คือวิธีการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสอง เมื่อฟังก์ชันคลื่นคูณแบบสเกลาร์กับตัวมันเองแล้วสามารถหาค่าได้ กล่าวคือ

$\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}{\rm {d}}^{3}\mathbf {r} =\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {r} )^{*}\psi (\mathbf {r} ){\rm {d}}^{3}\mathbf {r} <\infty$

ตัวอย่างฟังก์ชันกำลังสองที่สามารถหาปริพันธ์ได้ คือ ฟังก์ชันคลื่นแบบกลศาสตร์ควอนตัม :$\Psi (\mathbf {r} ,t)$

ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตำแหน่งของอนุภาคที่เวลา t ใด ๆ ในปริมาตร ซึ่งอยู่ในช่วง r ถึง r+dr (ช่วงที่จำกัด) หาได้จากสมการ

$\rho \left(\mathbf {\mathbf {r} } ,t\right)=\left|\Psi \left(\mathbf {(} \mathbf {r} ,t\right)\right|^{2}$

ซึ่งโอกาสที่จะพบอนุภาคในระบบมีค่าสูงสุดเท่ากับ 1 นั่นหมายความว่า อนุภาคต้องอยู่ที่ใดที่หนึ่ง

$\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}{\rm {d}}^{3}\mathbf {r} =1$

เราเรียกวิธีการทำให้ฟังก์ชันคลื่นเป็นไปตามสมการข้างต้นว่า การแจกแจงแบบปกติ (normalized)

สรุปคือ ฟังก์ชันคลื่นเป็นฟังก์ชันกำลังสองที่สามารถหาปริพันธ์ได้ ฟังก์ชันคลื่นใด ๆ ที่ไม่สามารถยกกำลังสองแล้วหาปริพันธ์ได้จะไม่มีความหมายในกลศาสตร์ควอนตัม

ตัวดำเนินการกับสถานะทางควอนตัม

แบ่งได้เป็น 2 กรณี ได้แก่

1. กรณีสถานะแบบไม่ต่อเนื่อง 

ในกรณีที่สถานะไอเกนเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete eigenstates) ซึ่งเกิดจาก basis $|\phi _{i}\rangle$ ที่เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง จะได้สถานะไอเกนอยู่ในรูปผลรวม (sum)

$|\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle$

เมื่อ c_i = $\langle \phi _{i}|\psi \rangle$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนและเป็นปริมาณที่เกิดจากการ projection ค่า $|\psi \rangle$ ลงบน $|\phi _{i}\rangle$ ซึ่ง |c_i|² = c_i^*c_i คือ โอกาสในการพบอนุภาคในสถานะ $|\phi _{i}\rangle$

2. กรณีสถานะแบบต่อเนื่อง 

ในกรณีที่สถานะไอเกนเป็นแบบต่อเนื่อง (Continuum of eigenstates) ซึ่งเกิดจาก basis $|\phi _{i}\rangle$  ที่เป็นแบบต่อเนื่อง จะได้สถานะไอเกนอยู่ในรูปปริพันธ์ (Integral) 

$|\psi \rangle =\int {\rm {d}}\phi c(\phi )|\phi \rangle$

เมื่อ $c(\phi )$ คือ $\langle \phi _{i}|\psi \rangle$ และเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน ซึ่ง |$c(\phi )$|² = $c(\phi )$^*$c(\phi )$ เป็น โอกาสในการพบอนุภาคในสถานะควอนตัม $|\phi _{i}\rangle$

ค่าคาดหวังของตัวดำเนินการ สำหรับสถานะ ψ

          ค่าคาดหวัง คือ ค่าเฉลี่ยของข้อมูลการสังเกตปริมาณ A ใด ๆ สำหรับอนุภาคในปริภูมิ R

ค่าคาดหวัง $\langle {\hat {A}}\rangle$ ของตัวดำเนินการ ${\hat {A}}$ จะหาได้จาก

$\langle {\hat {A}}\rangle =\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle .$

และสามารถเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไปสำหรับฟังก์ชัน F ใด ๆ ของตัวดำเนินการ ได้เป็น

$\langle F({\hat {A}})\rangle =\int _{R}\psi (\mathbf {r} )^{*}\left[F({\hat {A}})\psi (\mathbf {r} )\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\langle \psi |F({\hat {A}})|\psi \rangle ,$

ตัวอย่าง ฟังก์ชัน F เป็น 2 เท่าของ A ในสถานะ ψ

${\begin{aligned}&F({\hat {A}})={\hat {A}}^{2}\\&\Rightarrow \langle {\hat {A}}^{2}\rangle =\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}^{2}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\langle \psi \vert {\hat {A}}^{2}\vert \psi \rangle \\\end{aligned}}\,\!$

ตัวดำเนินการเอมิตเชียน

ตัวดำเนินการเฮอร์มิตเชียน เป็นตัวดำเนินการที่มีนิยาม คือ  

${\hat {A}}={\hat {A}}^{\dagger }$

เมื่อ ${\hat {A}}^{\dagger }$ เป็น คอนจูเกตและทรานสโพทของตัวดำเนินการ (Conjugate Transpose Operator) ของ  โดยเครื่องหมายที่เพิ่มขึ้นมา “$\dagger$” เรียกว่า แด็กเกอร์ (dagger) 

จากนิยามตัวดำเนินการเฮอร์มิตเชียนข้างต้น สามารถเขียนในรูปของสัญลักษณ์ บรา(bar) - เค็ท(ket) ได้ดังนี้  

$\langle \phi _{i}|{\hat {A}}|\phi _{j}\rangle =\langle \phi _{j}|{\hat {A}}|\phi _{i}\rangle ^{*}.$

คุณสมบัติสำคัญของฟังก์ชันไอเกนของตัวดำเนินการเฮอร์มิตเชียน

1.      ค่าไอเกนของตัวดำเนินการเฮอร์มิตเชียนเป็นจำนวนจริงเสมอ

2.      ฟังก์ชันไอเกน (สถานะไอเกน) ที่มีค่าไอเกนแตกต่างกันจะมีสมบัติ Orthogonality

3.      ฟังก์ชันไอเกน สามารถเป็น Orthonormal basis