มวลลดทอน

ในทางฟิสิกส์ มวลลดทอน (Reduced mass) คือ มวลเฉื่อยยังผล (Effective inertia mass) ที่ปรากฏอยู่ในปัญหาที่มีวัตถุ 2 ชิ้นของกลศาสตร์ เป็นปริมาณของมวลหนึ่งอนุภาคที่มีค่าเท่ากับมวลของระบบที่ประกอบด้วยอนุภาค 2 อนุภาค ที่เคลื่อนที่สัมพัทธ์กันภายใต้อันตรกิริยาระหว่างกัน กล่าวคือ เป็นการเปลี่ยนระบบการเคลื่อนที่ของ 2 อนุภาค ให้เป็นปัญหาที่มีวัตถุเพียง 1 ชิ้น มวลลดทอน แทนด้วยสัญลักษณ์ $\mu$ (mu) มีหน่วยเป็น กิโลกรัม (kg)

ยกตัวอย่างเช่น ระบบของโลกและดวงจันทร์ในกลศาสตร์ท้องฟ้า หรือโปรตอนและอิเล็กตรอนของอะตอมไฮโดรเจนในกลศาสตร์ควอนตัม เราสามารถแก้ปัญหาของระบบเหล่านี้ได้สะดวกยิ่งขึ้นเมื่อใช้มวลลดทอน

สมการ

มีวัตถุ 2 ชิ้น มีมวล m₁ และ m₂ ถ้าจะพิจารณาให้เป็นปัญหาที่มี 1 วัตถุ เราสามารถใช้มวลลดทอน ดังสมการ

$\mu ={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{m_{1}}}+{\cfrac {1}{m_{2}}}}}={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}},\!\,$

สมบัติของมวลลดทอน

มวลลดทอนจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับมวลของแต่ละวัตถุเสมอ

$\mu \leq m_{1},\quad \mu \leq m_{2}\!\,$

และมีสมบัติการบวกส่วนกลับของมวลลดทอน ดังนี้

${\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\,\!$

ในกรณีที่ $m_{1}=m_{2}$

${\mu }={\frac {m_{1}}{2}}={\frac {m_{2}}{2}}\,\!$

ที่มา

สมการของมวลลดทอน สามารถพิสูจน์ได้ดังนี้

กลศาสตร์นิวตัน

จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน แรงที่วัตถุที่ 2 กระทำต่อวัตถุที่ 1 คือ

$\mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}.\!\,$

ในขณะเดียวกัน แรงที่วัตถุที่ 1 กระทำต่อวัตถุที่ 2 คือ

$\mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}.\!\,$

และจากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 3 ของนิวตัน แรงที่วัตถุที่ 2 กระทำต่อวัตถุที่ 1 จะเท่ากับแรงที่วัตถุที่ 1 กระทำต่อวัตถุที่ 2 แต่มีทิศทางตรงกันข้าม จะได้ว่า

$\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}.\!\,$

ดังนั้น

$m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}.\!\,$

และ

$\mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}.\!\,$

ความเร่งสัมพัทธ์ a_rel ระหว่าง 2 วัตถุ คือ

$\mathbf {a} _{\rm {rel}}=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left(1+{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{\rm {red}}}}.$

กลศาสตร์แบบลากรางจ์

สมการลากรางจ์ของปัญหาที่มีวัตถุ 2 ชิ้น คือ

$L={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)\!\,$

โดยที่ ${\mathbf {r} }_{i}$ คือ เวกเตอร์บอกตำแหน่งของมวล $m_{i}$ และพลังงานศักย์ V คือฟังก์ชันที่ขึ้นกับระยะห่างระหว่างอนุภาค กำหนดให้

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}$

และให้จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุทั้ง 2 ชิ้น เป็นจุดร่วมกัน โดยอยู่ที่จุดกำเนิด

$m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0$

จะได้ว่า

$\mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}},\;\mathbf {r} _{2}=-{\frac {m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.$

จากนั้น แทนค่า ${\mathbf {r} }_{1}$ และ ${\mathbf {r} }_{2}$ ในสมการลากรางจ์

$L={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r}} ^{2}-V(r),$

โดยที่ $\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$ คือ มวลทดทอน

แหล่งข้อมูลอื่น

• [1]
• [2]