ผลต่างระหว่างรุ่นของ "สมการอ็อยเลอร์–ลากร็องฌ์"

ในวิชาแคลคูลัสของการแปรผัน '''สมการออยเลอร์-ลากรางจ์ร็องฌ์''' <ref>{{cite book|first=Charles|last=Fox|title=An introduction to the calculus of variations|publisher=Courier Dover Publications|year=1987|isbn=978-0-486-65499-7}}</ref> หรือ'''สมการลากรางจ์ร็องฌ์''' คือ สมการปริพันธ์อันดับสองโดยมีผลเฉลยเป็นฟังก์ชัน stationary ถูกพัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสเซอร์แลนด์ชื่อ[[เลออนฮาร์ด ออยเลอร์]]และนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี่-ฝรั่งเศสชื่อ[[โฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์]] ในปี 1750s

เนื่องจากฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ (differentiable functional) จะคงที่ ณ บริเวณที่มีค่าสูงสุดและต่ำสุด สมการออยเลอร์-ลากรางจ์ร็องฌ์จะมีประโยชน์มากในการแก้ปัญหาการหาค่าที่เหมาะที่สุด ([[optimization (mathematics)|optimization]]) ซึ่งให้ค่าบางอย่าง อาจจะเป็นค่าน้อยสุดหรือมากสุดก็ได้ วิธีการนี้เป็นการอุปไมยจากทฤษฎีบทของแฟร์มาร์ตในแคลคูลัส ซึ่งระบุว่าที่จุดใด ๆ บนฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะนำไปสู่ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของบริเวณที่พิจารณา (local extremum) ของฟังก์ชัน จากการแก้อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์

ใน[[กลศาสตร์แบบลากรองจ์]] เนื่องจาก[[หลักการของแฮมิลตัน]]ที่อนุรักษ์พลังงาน (stationary action) การวิวัฒนาการของระบบฟิสิกส์จึงถูกอธิบายด้วยผลเฉลยของสมการออยเลอร์-ลากรางจ์ร็องฌ์สำหรับอธิบายแอคชันของระบบ ในกลศาสตร์คลาสสิก (classical mechanics) สมการออยเลอร์-ลากรางจ์ร็องฌ์สามารถให้ผลเฉลยที่สอดคล้องกับการใช้กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน (Newton's laws of motion) แต่ประโยชน์ คือ จะให้รูปแบบสมการสำหรับระบบในระบบพิกัดทั่วไปซึ่งจะสามารถนำมาประยุกต์ใช้กับระบบพิกัดได้อย่างหลากหลาย ในทฤษฎีสนามคลาสสิก ([[classical field theory]]) จะมีรูปแบบสมการของออยเลอร์-ลากรางจ์ร็องฌ์ที่สามารถใช้คำนวณพลศาสตร์ของสนามได้