ผลต่างระหว่างรุ่นของ "จำนวนธรรมชาติ"

→‎สัจพจน์ของเปอาโน: บัญญัติศัพท์ first-order logic เป็นรูปแบบเชิงตรรก
(บัญญัติ Formal เป็น อย่างเป็นทางการ)
ป้ายระบุ: แก้ไขจากอุปกรณ์เคลื่อนที่
(→‎สัจพจน์ของเปอาโน: บัญญัติศัพท์ first-order logic เป็นรูปแบบเชิงตรรก)
สัจพจน์ของเปอาโนเป็นที่มาของทฤษฎีอย่างเป็นรูปนัยของจำนวนธรรมชาติ
สัจพจน์ของเปอาโนมีดังนี้:
*<math>0</math> เป็นจำนวนธรรมชาติ
*ทุกจำนวนธรรมชาติ ''<math>a''</math> มีตัวตามหลัง เขียนแทนด้วย ''<math>S''(''a'')</math> จริงๆ แล้ว ''<math>S''(''a'')</math> คือ {{nowrap|''<math>a'' + 1}}</math>
*ไม่มีจำนวนธรรมชาติที่ตัวตามหลังเป็น <math>0</math>
*''<math>S''</math> เป็น [[ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง]] กล่าวคือจำนวนธรรมชาติที่ต่างกันมีตัวตามหลังที่ต่างกัน: ถ้า {{nowrap|''<math>a'' \neq ''b''}} </math> แล้ว {{nowrap|''<math>S''(''a'') \neq ''S''(''b'')}}</math>
*ถ้า <math>0</math> มีสมบัติอย่างหนึ่ง และ ตัวตามหลังของทุกๆ จำนวนนับที่มีสมบัตินั้น ก็มีสมบัตินั้น แล้วทุกจำนวนธรรมชาติจะมีสมบัตินั้น (สัจพจน์นี้ยืนยันว่าการพิสูจน์โดย[[การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์]]ถูกต้อง)
 
หมายเหตุ "<math>0"</math> ในนิยามข้างต้นไม่ได้หมายถึงเลขศูนย์เสมอไป "<math>0"</math> หมายถึงบางจำนวนที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของเปอาโน เมื่อพิจารณาร่วมกับ"ฟังก์ชันตัวตามหลัง"ตามเหมาะสม ทุกระบบที่สอดคล้องกับสัจพจน์เหล่านี้สมมูลกันตามตรรกศาสตร์ชั้นต้น[[รูปแบบเชิงตรรก]] อย่างไรก็ตาม มีแบบจำลองสัจพจน์ของเปอาโนที่นับไม่ได้ ซึ่งเรียกว่า[[:en:Non-standard model of arithmetic |แบบจำลองเลขคณิตแบบไม่มาตรฐาน]] และยืนยันโดย[[:en:Löwenheim–Skolem_theorem#Upward_part|Upward Löwenheim-Skolem Theorem]] ชื่อ nbsp;"<math>0"</math> ใช้ในที่นี้สำหรับสมาชิกตัวแรก (มีการเสนอชื่อ"สมาชิกตัวที่ศูนย์" เพื่อให้ใช้ "สมาชิกตัวแรก" เรียก&nbsp;" <math>1"</math> ใช้ "สมาชิกตัวที่สอง" เรียก&nbsp;" <math>2"</math> ฯลฯ) ซึ่งเป็นสมาชิกที่ไม่มีตัวนำหน้า เช่นจำนวนธรรมชาติที่เริ่มด้วย&nbsp; <math>1</math> ก็สอดคล้องสัจพจน์ ถ้าสัญลักษณ์&nbsp; <math>0</math> ถือเป็นจำนวนธรรมชาติ&nbsp; <math>1</math> สัญลักษณ์ ''<math>S''(''0'')</math> ถือเป็น number&nbsp;<math>2</math> ฯลฯ ที่จริงแล้วในต้นฉบับของเปอาโน จำนวนธรรมชาติจำนวนแรก''คือ''&nbsp; <math>1</math>
 
===การสร้างบนพื้นฐานทฤษฎีเซต===