วิกิพีเดีย

ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ผู้ใช้:Keeplearn/กระบะทราย2ExteriorAlgebra"

เรียกดูประวัติแบบโต้ตอบ
← การแก้ไขก่อนหน้าการแก้ไขถัดไป →
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
เห็นภาพข้อความวิกิ
Keeplearn (คุย | ส่วนร่วม)
การแก้ไข 182 ครั้ง
ไม่มีความย่อการแก้ไข
Keeplearn (คุย | ส่วนร่วม)
การแก้ไข 182 ครั้ง
ไม่มีความย่อการแก้ไข
บรรทัด 2:
[[File:N-vector.svg|thumb|125px|Geometric interpretation for the '''exterior product''' of ''n'' [[vector (geometry)|vector]]s ('''u''', '''v''', '''w''') to obtain an ''n''-vector ([[parallelotope]] elements), where ''n'' = [[graded algebra|grade]],<ref>{{cite book |author=R. Penrose| title=[[The Road to Reality]]| publisher= Vintage books| year=2007 | isbn=0-679-77631-1}}</ref> for ''n'' = 1, 2, 3. The "circulations" show [[Orientation (vector space)|orientation]].<ref>{{cite book|title=Gravitation|author=J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne|publisher=W.H. Freeman & Co|year=1973|page=83|isbn=0-7167-0344-0}}</ref>]]
 
ในทาง[[คณิตศาสตร์]] '''ผลลัพธ์ผลคูณภายนอก''' หรือ '''ผลลัพธ์ผลคูณเวดจ์''' ของเวกเตอร์ คือโครงสร้างหนึ่งทางพีชคณิตที่เราใช้ใน[[เรขาคณิตแบบยูคลิด]]เพื่อที่จะศึกษา[[พื้นที่]], [[ปริมาตร]], และปริมาณอื่นๆ ที่มีมิติที่สูงกว่า ผลลัพธ์ผลคูณภายนอกของสองเวกเตอร์ ''u'' และ ''v'' เขียนแทนด้วย ''u''&nbsp;∧&nbsp;''v'' (ยู เวดจ์ วี) เรียกว่า [[ไบเวกเตอร์]] และอยู่ในปริภูมิหนึ่งที่เราเรียกว่า''กำลังสองภายนอก'' (เอกซทีเรียร์สแควร์) ซึ่งเป็น[[ปริภูมิเวกเตอร์]]ทางเรขาคณิตที่แตกต่างจากปริภูมิตั้งต้นของเวกเตอร์ เราตีความ[[ขนาด]]<ref>Strictly speaking, the magnitude depends on some additional structure, namely that the vectors be in a [[Euclidean space]]. We do not generally assume that this structure is available, except where it is helpful to develop intuition on the subject.</ref> ของผลคูณ ''u''&nbsp;∧&nbsp;''v'' ของผลลัพธ์เป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านเป็น ''u'' และ ''v'' ซึ่งเราคำนวณได้โดยการใช้[[ผลลัพธ์ผลคูณครอสส์]]ของสองเวกเตอร์ในสามมิติ ผลลัพธ์ผลคูณภายนอกมี[[สมบัติต่อต้านการสลับที่]]เหมือนกับผลลัพธ์ผลคูณครอสส์ ซึ่งหมายความว่า {{nowrap|1=''u'' ∧ ''v'' = −(''v'' ∧ ''u'')}} สำหรับทุกเวกเตอร์ ''u'' และ ''v'' วิธีหนึ่งที่จะจินตนาการถึงไบเวกเตอร์คือกลุ่มของ[[สี่เหลี่ยมด้านขนาน]]ซึ่งทั้งหมดอยู่ในระนาบเดียวกัน มีพื้นที่เหมือนกัน และมี[[ทิศทาง]]ของขอบเขตเหมือนกัน โดยที่อาจมีทิศทางตามเข็ม หรือ ทวนเข็มก็ได้
 
เมื่อเราพิจารณาผลลัพธ์ผลคูณภายนอกในลักษณะนี้ เราจะเรียกผลลัพธ์ผลคูณภายนอกของสองเวกเตอร์ว่า [[2-เบลด]] และเราจะนิยามรูปแบบทั่วไปของผลลัพธ์ผลคูณภายนอกของ ''k'' เวกเตอร์และเรียกมันว่า ''k''-เบลด ซึ่งอยู่ในปริภูมิเรขาคณิตที่เราเรียกว่าปริภูมิภายนอกอันดับที่ ''k'' ขนาดของผลลัพธ์ผลคูณ ''k''-เบลดคือปริมาณของ[[รูปทรงขนาน]]มิติที่ ''k'' ที่มีด้านขอบเป็นเวกเตอร์ตั้งต้น ซึ่งเหมือนกันกับขนาดของ[[ผลคูณเชิงสเกลาร์ของสามเวกเตอร์]]ในสามมิติที่ให้ปริมาตรของรูปทรงขนานที่เป็นส่วนขยายของเวกเตอร์เหล่านั้น
 
'''พีชคณิตภายนอก''' หรือ '''พีชคณิตของกรัสส์แมน''' ตั้งชื่อตาม[[แฮร์มันน์ กรัสส์มันน์]],<ref>{{harvcoltxt|Grassmann|1844}} introduced these as ''extended'' algebras (cf. {{harvnb|Clifford|1878}}). He used the word ''äußere'' (literally translated as ''outer'', or ''exterior'') only to indicate the ''produkt'' he defined, which is nowadays conventionally called ''exterior product'', probably to distinguish it from the ''[[outer product]]'' as defined in modern [[linear algebra]].</ref> เป็นระบบพีชคณิตที่ผลลัพธ์ของมันคือผลลัพธ์ผลคูณภายนอกปริภูมิตั้งต้น พีชคณิตภายนอกให้สภาพแวดล้อมเพื่อตอบคำถามทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น เบลดมีความหมายทางเรขาคณิตที่ชัดเจน เราสามารถจัดการกับวัตถุในพีชคณิตภายนอกตามชุดของกฎที่ชัดเจน พีชคณิตภายนอกประกอบด้วย ''k''-เบลด และผลรวมของ''k''-เบลดที่เราเรียกว่า[[''k''-เวกเตอร์]].<ref>The term ''k-vector'' is not equivalent to and should not be confused with similar terms such as ''[[4-vector]]'', which in a different context could mean a 4-dimensional vector. A minority of authors use the term ''k''-multivector instead of ''k''-vector, which avoids this confusion.</ref> เราเรียก''k''-เบลดว่าสมาชิกมูลฐานของพีชคณิตภายนอกเพราะพวกมันเป็นผลลัพธ์มูลฐานของเวกเตอร์ เรานิยาม''rank''ของ''k''-เวกเตอร์ใดๆ ว่าเป็นจำนวนที่เล็กที่สุดของสมาชิกมูลฐานที่ประกอบขึ้นเป็นผลรวม เราได้ขยายผลลัพธ์ผลคูณภายนอกออกไปเพื่อให้ได้พีชคณิตภายนอกที่สมบูรณ์แบบเพื่อว่าให้เราสามารถคูณสมาชิกใดๆของมันสองตัวได้อย่างมีเหตุมีผล ด้วยการเพิ่มผลลัพธ์ผลคูณแบบนี้ให้กับพีชคณิตภายนอก ทำให้พีชคณิตภายนอกเป็น[[พีชคณิตการเปลี่ยนหมู่]] (associative algebra) ซึ่งหมายความว่า {{nowrap|1=α ∧ (β ∧ γ) = (α ∧ β) ∧ γ}} สำหรับสมาชิกใดๆ α, β, γ ''k''-เวกเตอร์มีอันดับที่''k'' หมายถึงพวกมันเป็นผลรวมของผลคูณของเวกเตอร์''k''ตัว เมื่อนำสมาชิกที่มีอันดับต่างกันมาคูณกัน เราจะเอาอันดับของมันมาบวกกันเหมือนการคูณของพหุคูณ (polynomials) สิ่งนี้หมายความว่าพีชคณิตภายนอกเป็น[[พีชคณิตการจัด]] (graded algebra)
 
In a precise sense, given by what is known as a [[universal property|universal construction]], the exterior algebra is the ''largest'' algebra that supports an alternating product on vectors, and can be easily defined in terms of other known objects such as [[tensor]]s. The definition of the exterior algebra makes sense for spaces not just of geometric vectors, but of other vector-like objects such as [[vector field]]s or [[function (mathematics)|functions]]. In full generality, the exterior algebra can be defined for [[module (mathematics)|modules]] over a [[commutative ring]], and for other structures of interest in [[abstract algebra]]. It is one of these more general constructions where the exterior algebra finds one of its most important applications, where it appears as the algebra of [[differential forms]] that is fundamental in areas that use [[differential geometry]]. Differential forms are mathematical objects that represent [[infinitesimal]] areas of infinitesimal parallelograms (and higher-dimensional bodies), and so can be [[integral|integrated]] over surfaces and higher dimensional [[manifold]]s in a way that generalizes the [[line integral]]s from calculus. The exterior algebra also has many algebraic properties that make it a convenient tool in algebra itself. The association of the exterior algebra to a vector space is a type of [[functor]] on vector spaces, which means that it is compatible in a certain way with linear transformations of vector spaces. The exterior algebra is one example of a [[bialgebra]], meaning that its [[dual space]] also possesses a product, and this dual product is compatible with the exterior product. This dual algebra is precisely the algebra of [[alternating multilinear form]]s on&nbsp;''V'', and the pairing between the exterior algebra and its dual is given by the [[interior product]].
เข้าถึงจาก "https://th.wikipedia.org/wiki/ผู้ใช้:Keeplearn/กระบะทราย2ExteriorAlgebra"