ผลต่างระหว่างรุ่นของ "สัจพจน์"
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
ล r2.6.5) (โรบอต เพิ่ม: ky:Аксиома |
ล r2.7.3) (Robot: Modifying new:एक्जियोम to new:एक्जियम; ปรับแต่งให้อ่านง่าย |
||
บรรทัด 2:
'''สัจพจน์''' ({{Lang-en|axiom}}) หรือ '''มูลบท''' ({{Lang-en|postulate}}) เป็นคำศัพท์ที่ใช้ในวิชา
[[คณิตศาสตร์]] และ[[วิทยาศาสตร์]] หมายถึงข้อความที่ยอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์
ซึ่งตรงข้ามกับคำว่า "[[ทฤษฎีบท]]" ซึ่งจะถูกยอมรับว่าเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อมีการ[[พิสูจน์]]
ดังนั้นสัจพจน์จึงถูกใช้เป็นจุดเริ่มต้นในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ และทฤษฎีบททุกอัน
จะต้อง[[อนุมาน]] (inference) มายังสัจพจน์ได้
บรรทัด 26:
หลังจากที่วิทยาศาสตร์แตกแขนงไปหลายๆ สาขาซึ่งอยู่บนพื้นฐานของสมมติฐานคนละชุด เรามักจะเรียกสมมติฐานพื้นฐานเฉพาะสาขานั้นๆ ว่า "มูลบท" ในขณะที่ "สัจพจน์" มักใช้ในความหมายของวิทยาศาสตร์โดยทั่วไป
เมื่อ[[ยูคลิด]] ได้รวบรวมระเบียบวิธีทางคณิตศาสตร์เอาไว้ในหนังสือ The Elements ได้รวบรวมมูลบท ซึ่ง[[ยูคลิด]] หมายถึงหลักการทาง[[เรขาคณิต]] ที่สอดคล้องกับประสบการณ์และสามัญสำนึก
:;มูลบททางเรขาคณิต
บรรทัด 44:
== คณิตตรรกศาสตร์ ==
ในสาขา[[คณิตตรรกศาสตร์]]มีการแยกสัจพจน์ออกเป็นสองรูปได้แก่ "สัจพจน์ที่เป็นตรรกะ" และ "สัจพจน์ที่ไม่เป็นตรรกะ" ซึ่งคล้ายคลึงกับการแยก "สัจพจน์" กับ "มูลบท" ในสมัยก่อนตามลำดับ
=== สัจพจน์ที่เป็นตรรกะ ===
ใน[[ภาษารูปนัย]]มี[[สูตรเชิงตรรกะ]]ตายตัวที่ถือว่า[[สมเหตุสมผล]]โดยสากล (Universally Valid) สูตรนี้จะ[[สอดคล้อง]]กับค่าความจริงทุกค่า โดยปกติแล้วการกำหนดสัจพจน์ที่เป็นตรรกะจะกำหนดให้มีจำนวนน้อยที่สุดที่เพียงพอที่จะพิสูจน์[[สัจนิรันดร์]]ในภาษาทั้งหมดได้ ยกเว้นแต่[[ตรรกะภาคแสดง]](predicate logic)
==== ตัวอย่าง ====
===== ตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ =====
ใน[[ตรรกศาสตร์เชิงประพจน์]] โดยปกติแล้วจะมี[[สูตรเชิงตรรกะ]]ที่กำหนดให้เป็นสัจพจน์ดังนี้ เมื่อให้ <math>\phi</math>, <math>\chi</math>, and <math>\psi</math> เป็น[[สูตรเชิงตรรกะ]]ใดๆ ในภาษารูปนัย ภายใต้[[ตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์]]เพียงสองอันได้แก่ "<math>\neg</math>" [[นิเสธ]]ของประพจน์ และ "<math>\to\,</math>" [[เงื่อนไข (ตรรกศาสตร์)]] ที่เชื่อมประพจน์จากเหตุไปสู่ผล:
# <math>\phi \to (\psi \to \phi)</math>
# <math>(\phi \to (\psi \to \chi)) \to ((\phi \to \psi) \to (\phi \to \chi))</math>
# <math>(\lnot \phi \to \lnot \psi) \to (\psi \to \phi).</math>
แต่ละรูปแบบล้วนเป็น ''[[เค้าร่างสัจพจน์]]''(Axiom Schema) ซึ่งสามารถผลิตสัจพจน์อื่นได้จำนวนไม่จำกัด ยกตัวอย่างเช่นให้ <math>A</math>, <math>B</math> <math>C</math> แทน [[ตัวแปรเชิงประพจน์]] ใดๆ <math>A \to (B \to A)</math> และ <math>(A \to \lnot B) \to (C \to (A \to \lnot B))</math> ก็ล้วนแต่เป็นผลมาจากเค้าร่างสัจพจน์ที่ 1 ดังนั้นจึงประโยคทั้งสองจึงเป็นสัจพจน์ไปด้วย
บรรทัด 58:
เค้าร่างสัจพจน์ทั้งสามเมื่อรวมกับ ''[[modus ponens]]'' นั้นเพียงพอที่จะพิสูจน์สัจนิรันดร์ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ทั้งหมดได้ แต่การหยิบแค่สองเค้าร่างนั้นไม่เพียงพอที่จะพิสูจน์สัจนิรันดร์ทั้งหมด จำนวนของสัจพจน์ของตรรกเชิงประพจน์ดังกล่าวจึงน้อยที่สุดแล้วที่จะพิสูจน์สัจนิรันดร์ทั้งหมดได้ นอกจากนั้นแล้ว เรายังสามารถสร้างเค้าร่างสัจพจน์อื่นๆ ภายใต้[[ตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์]]ได้อย่างอิสระจากเค้าร่างสัจพจน์ดังกล่าว <ref>Mendelson, "6. Other Axiomatizations" of Ch. 1</ref> และเค้าร่างสัจพจน์นี้ยังใช้ใน[[ตรรกศาสตร์ภาคแสดง]]แต่ต้องเพิ่มสัจพจน์ที่เป็นตรรกะอื่นๆ ลงไป เช่นสัจพจน์ของ[[ตัวบ่งปริมาณ]] เป็นต้น<ref>Mendelson, "3. First-Order Theories" of Ch. 2</ref>
===== คณิตตรรกศาสตร์ =====
<div style="border: 1px solid #CCCCCC; padding-left: 5px; ">
'''สัจพจน์แห่งความเท่ากัน''' ให้ <math>\mathfrak{L}</math> เป็น[[ภาษาอันดับหนึ่ง]] และ <math>x</math> เป็นตัวแปรใดๆ บนภาษานั้น จะได้ว่า
บรรทัด 103:
== อ้างอิง ==
<references />
{{โครงคณิตศาสตร์}}▼
[[หมวดหมู่:สัจพจน์ทางคณิตศาสตร์]]
[[หมวดหมู่:คณิตศาสตร์]]
▲{{โครงคณิตศาสตร์}}
[[als:Axiom]]
บรรทัด 156:
[[mn:Аксиом]]
[[ms:Aksiom]]
[[new:
[[nl:Axioma]]
[[nn:Aksiom]]
| |||