ผลต่างระหว่างรุ่นของ "แฟร็กทัล"

 

'''แฟร็กทัล''' ({{lang-en|Fractal}}) ในปัจจุบันเป็นคำที่ใช้ในเชิง[[วิทยาศาสตร์]]และ[[คณิตศาสตร์]] หมายถึง วัตถุทาง[[เรขาคณิต]] ที่มีคุณสมบัติ[[คล้ายตนเอง]] คือ ดูเหมือนกันไปหมด (เมื่อพิจารณาจากแง่ใดแง่หนึ่ง) ไม่ว่าจะดูที่ระดับความละเอียด (โดยการส่องขยาย) หรือ สเกลใดก็ตาม

 

== ประวัติ ==

สิ่งที่เรารู้จักกันในนามของแฟร็กทัลนั้น ได้ถูกค้นพบมานานก่อนที่คำว่า "แฟร็กทัล" จะถูกบัญญัติขึ้นมาใช้เรียกสิ่งเหล่านี้ ในปี [[ค.ศ. 1872]] [[คาร์ล ไวแยร์สตราสส์]] (Karl Weierstrass) ได้ยกตัวอย่างของ[[ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)|ฟังก์ชัน]] ที่มีคุณสมบัติ "everywhere continuous but nowhere differentiable" คือ มีความต่อเนื่องที่ทุกจุด แต่ไม่สามารถหาค่า[[อนุพันธ์]]ได้ ต่อมาในปี [[ค.ศ. 1904]] [[เฮลเก ฟอน ค็อค]] (Helge von Koch) ได้ยกตัวอย่างทางเรขาคณิต ซึ่งได้รับการเรียกขานในปัจจุบันนี้ว่า "[[เกล็ดหิมะค็อค]]" (Koch snowflake) ต่อมาในปี [[ค.ศ. 1938]] [[พอล ปีแอร์ ลาวี]] (Paul Pierre Lévy) ได้ทำการศึกษา รูปร่างของ กราฟ (curve และ surface) ซึ่งมีคุณสมบัติที่ส่วนประกอบย่อย มีความเสมือนกับโครงสร้างโดยรวมของมัน คือ "Lévy C curve" และ "Lévy dragon curve"

 

 

== คำจำกัดความ ==

แฟร็กทัล นั้นนอกจากเป็นวัตถุที่มี [[ความคล้ายตนเอง]] แล้วยังมีอีกคุณสมบัติหนึ่งคือ มี[[มิติ]]<ref>มิติ นั้นมีหลายนิยาม ขึ้นกับ[[ทฤษฎีการวัด|การวัด]] (measure) ที่ใช้ เช่น [[มิติเฮาส์ดอร์ฟ]] (Hausdorff dimension), box-counting (หรือ Minkowski) dimension, packing dimension, และอื่นๆ</ref>[[มิติเฮาส์ดอร์ฟ|เฮาส์ดอร์ฟ]] (Hausdorff) ไม่เป็นจำนวนเต็ม (นิยามโดย เบอนัว มานดัลบรอ ไว้ว่า ''A fractal is by definition a set for which the Hausdorff-Besicovitch dimension strictly exceeds the topological dimension.'') แต่คำจำกัดความนี้ดูเหมือนจะมีปัญหาอยู่มาก เนื่องจาก ปรากฏว่ามีวัตถุที่มีรูปร่างเป็นแฟร็กทัล แต่ไม่ได้เป็นไปตามคุณสมบัติมิตินี้

 

 

== ประเภทของแฟร็กทัลและตัวอย่าง ==

แฟร็กทัลสามารถจำแนกออกเป็นสามประเภทตามวิธีการสร้างดังนี้

 

แฟร็กทัลอีกจำนวนหนึ่งมีที่มาจากการศึกษา[[ทฤษฎีความอลวน]] เรียกว่า '''escape-time fractal''' ตัวอย่างเช่น [[เซตจูเลีย]], [[เซตมานดัลบรอ]], [[แฟร็กทัล Burning Ship]] และ [[แฟร็กทัลไลยาปูนอฟ]] (Lyapunov) แฟร็กทัลสร้างจากวนซ้ำสมการ <math>f_c(z)</math> ไปเรื่อย ๆ หรือเขียนอยู่ในรูปสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์คือ <math>f_c(f_c(f_c(...)))</math> และสร้างกราฟของค่าพารามิเตอร์ <math>c</math> หรือค่าเริ่มต้นของ <math>z</math> ที่ให้ผลลัพธ์ที่อลวน แฟร็กทัลเหล่านี้มักมีคุณสมบัติคล้ายตนเองที่ไม่สมบูรณ์ กล่าวคือ เมื่อขยายแฟร็กทัลดูส่วนที่เล็กลงจะพบว่ามีรูปร่างคล้ายแต่ไม่เหมือนรูปร่างของเดิมซะทีเดียว (quasi-self-similarity)

 

 

== แฟร็กทัลในธรรมชาติ ==

สิ่งที่มีลักษณะใกล้เคียงกับแฟร็กทัลสามารถพบได้ง่ายในธรรมชาติ ตัวอย่างสิ่งของที่มีคุณลักษณะความคล้ายตนเองในระดับหนึ่ง เช่น [[เมฆ]] [[เกล็ดหิมะ]] [[ภูเขา]] สายฟ้าใน[[ฟ้าผ่า]] การแตกสาขาของ[[แม่น้ำ]] ปุ่มบน[[ดอกกะหล่ำ]] การแตกแขนงของ[[เส้นเลือดฝอย]] เป็นต้น ซึ่งเมื่อนำวัตถุนั้นมาขยายแล้วจะพบว่ามีรูปร่างคล้ายกับของเดิม แต่วัตถุในธรรมชาติก็มีข้อจำกัดคือเมื่อขยายมาก ๆ เช่น จนถึงระดับ [[เซลล์ (ชีววิทยา)|เซลล์]] หรือ โมเลกุล จะไม่เหลือคุณสมบัติความคล้ายตนเองเหลืออยู่

 

 

== การประยุกต์ใช้งาน ==

ทฤษฎีและผลจากการศึกษาแฟร็กทัล สามารถนำมาประยุกต์ใช้กับงานหลาย ๆ ด้าน ตัวอย่างที่สำคัญเช่น

 

[[ro:Fractal]]

[[ru:Фрактал]]

[[sh:Fraktal]]

[[simple:Fractal geometry]]