ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ควอเทอร์เนียน"
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
ล โรบอต เพิ่ม: tr:Dördey |
ไม่มีความย่อการแก้ไข |
||
บรรทัด 3:
ควอเทอร์เนียน เป็น[[จำนวน]]ที่เขียนได้ในรูป w+ix+jy+kz โดยที่ w, x, y และ z เป็นจำนวนจริง และ i^2 = j^2 = k^2 = -1, ij = k = -ji ซึ่งแสดงว่าควอเทอร์เนียนไม่มีคุณสมบัติการสลับที่
== นิยาม ==
ควอเทอร์เนียน '''H''' คือเซตที่เท่ากับปริภูมิเวกเตอร์ 4 มิติของจำนวนจริง ('''R'''<sup>4</sup>) [[การดำเนินการทางคณิตศาสตร์]]ในควอเทอร์เนียนมี 3 แบบคือ การบวก, การคูณด้วยปริมาณสเกลาร์ และการคูณด้วยควอเทอร์เนียน ผลรวมระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนจะมีค่าเท่ากับการรวมของจำนวนสองจำนวนในปริภูมิ '''R'''<sup>4</sup> และเช่นเดียวกัน การคูณควอเทอร์เนียนด้วยจำนวนจริงจะใช้นิยามเดียวกันกับการคูณเวกเตอร์ใน '''R'''<sup>4</sup> ด้วยจำนวนจริง สำหรับการคูณระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนนั้น ก่อนอื่นจะต้องนิยามฐานหลัก (basis) ของ '''R'''<sup>4</sup> ก่อน โดยปกติพื้นฐาน ฐานหลักที่นิยมใช้ก็คือ 1, ''i'', ''j'' และ ''k'' ดังนั้นสมาชิกใดๆก็ตามใน '''H''' ย่อมสามารถเขียนให้อยู่ในรูป[[ผลรวมเชิงเส้น]] (linear combination) ของฐานหลักเหล่านั้นได้เสมอโดยไม่ซ้ำแบบกัน ยกตัวอย่างเช่น ควอเทอร์เนียน ''a''1 + ''bi'' + ''cj'' + ''dk'' เป็นการเขียนในรูปฐานหลัก โดยที่ ''a'', ''b'', ''c'' และ ''d'' เป็นจำนวนจริง และมี 1, ''i'', ''j'' และ ''k'' เป็นฐานหลัก เป็นต้น ควอเทอร์เนียนมีเอกลักษณ์การคูณ คือ 1 ดังนั้นการคูณควอเทอร์เนียนด้วย 1 จึงไม่เปลี่ยนแปลงควอเทอร์เนียน ด้วยเหตุนี้จำนวนควอเทอร์เนียนใดๆ มักเขียนในรูป ''a'' + ''bi'' + ''cj'' + ''dk'' ดังนั้นนิยามการคูณระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนจึงประกอบไปด้วยการคูณกันระหว่างสมาชิก และการใช้กฏการกระจาย
==== การคูณระหว่างฐานหลัก ====
ฐานหลักขอควอเทอร์เนียนมีคุณสมบัติ คือ <math>i^2 = j^2 = k^2 = i j k = -1\ </math> โดย ''i'', ''j'' และ ''k'' เป็นจำนวนจินตภาพ เราสามารถหาผลคูณระหว่างฐานหลักแต่ละคู่ได้ ยกตัวอย่างเช่น หากต้องการแสดงว่า <math>k = i j \ </math> สามารถทำได้โดยเริ่มจากพิจารณาสมการ
<math>-1 = i j k \ </math>
จากนั้นคูณทั้งสองด้านของสมการด้วย ''k'' จะได้
<math>
\begin{align}
-k & = i j k k, \\
-k & = i j (-1), \\
k & = i j
\end{align}
</math>
สำหรับผลคูณระหว่างฐานหลักคู่อื่นๆสามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีการเดียวกัน ซึ่งจะได้ผลลัพท์ ดังนี้
:<math>\begin{alignat}{2}
ij & = k, & \qquad ji & = -k, \\
jk & = i, & kj & = -i, \\
ki & = j, & ik & = -j.
\end{alignat}</math>
==== ผลคูณฮามิลตัน (Hamilton product) ====
สำหรับจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวน ''a''<sub>1</sub> + ''b''<sub>1</sub>''i'' + ''c''<sub>1</sub>''j'' + ''d''<sub>1</sub>''k'' และ ''a''<sub>2</sub> + ''b''<sub>2</sub>''i'' + ''c''<sub>2</sub>''j'' + ''d''<sub>2</sub>''k'' ผลคูณฮามิลตัน (''a''<sub>1</sub> + ''b''<sub>1</sub>''i'' + ''c''<sub>1</sub>''j'' + ''d''<sub>1</sub>''k'')(''a''<sub>2</sub> + ''b''<sub>2</sub>''i'' + ''c''<sub>2</sub>''j'' + ''d''<sub>2</sub>''k'') สามารถหาได้โดยการใช้คุณสมบัติการกระจาย จากนั้นหาผลรวมระหว่างผลคูณของฐานหลักแต่ละคู่ ดังต่อไปนี้
:<math>a_1a_2 + a_1b_2i + a_1c_2j + a_1d_2k + b_1a_2i + b_1b_2i^2 + b_1c_2ij + b_1d_2ik + c_1a_2j + c_1b_2ji + c_1c_2j^2 + c_1d_2jk + d_1a_2k + d_1b_2ki + d_1c_2kj + d_1d_2k^2.</math>
เมื่อจัดหมู่ เราจะได้ผลลัพธ์คือ
:<math>(a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2) + (a_1b_2 + b_1a_2 + c_1d_2 - d_1c_2)i + (a_1c_2 - b_1d_2 + c_1a_2 + d_1b_2)j + (a_1d_2 + b_1c_2 - c_1b_2 + d_1a_2)k.</math>
[[หมวดหมู่:คณิตศาสตร์]]
| |||