ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา"

[[ปิแยร์ เดอ แฟร์มาต์]] (Pierre de Fermat) นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 17 ได้เขียนทฤษฎีบทนี้ลงในหน้ากระดาษหนังสือ ''Arithmetica'' ของ[[ดิโอแฟนตัสไดโอแฟนตัส]] ฉบับแปลเป็นภาษาละตินโดย [[Claude-Gaspar Bachet]] เขาเขียนว่า "ฉันมีบทพิสูจน์ที่น่าอัศจรรย์สำหรับบทสรุปนี้ แต่พื้นที่กระดาษเหลือน้อยเกินไปที่จะอธิบายได้" (เขียนเป็นภาษาละตินว่า "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.") อย่างไรก็ตาม ตลอดระยะเวลา 357 ปี ไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ถูกต้องเลย

ข้อความนี้มีความสำคัญมาก เพราะว่าข้อความอื่นๆ ที่แฟร์มาต์เขียนนั้น ได้รับการพิสูจน์หมดแล้ว ไม่ว่าจะพิสูจน์ด้วยตัวเขาเอง หรือว่ามีคนให้บทพิสูจน์ในภายหลัง ทฤษฎีบทนี้ไม่ได้เป็นข้อความคาดการณ์สุดท้ายที่แฟร์มาต์เขียน แต่เป็น ''ข้อสุดท้ายที่จะต้องพิสูจน์'' นักคณิตศาสตร์ได้พยายามพิสูจน์หรือไม่ก็หักล้างทฤษฎีบทนี้มาโดยตลอด และต้องพบกับความล้มเหลวทุกครั้งไป ทำให้ทฤษฎีนี้เป็นทฤษฎีที่สร้างบทพิสูจน์ที่ผิด ๆผิดๆ มากที่สุดในวงการคณิตศาสตร์ก็ว่าได้ อาจเป็นเพราะทฤษฎีบทนี้สามารถเข้าใจได้ง่ายดูแล้วไม่มีอะไรซับซ้อนนั่นเอง

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ เป็นรูปแบบทั่วไปของ[[สมการไดโอแฟนไทน์]] ''a''² + ''b''² = ''c''² (สมการที่ตัวแปรเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น) ชาวจีน ชาวกรีก และชาวบาบิโลเนียนได้ค้นพบคำตอบของสมการนี้หลายคำตอบเช่น (3, 4, 5) (3² + 4² = 5²) หรือ (5, 12, 13) เป็นต้น คำตอบเหล่านี้เรียกว่า [[สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส]] (Pythagorean triples) และมีอยู่จำนวนไม่จำกัด ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ กล่าวว่า สมการนี้จะไม่มีคำตอบเมื่อเลขยกกำลังมากกว่า 2

เราอาจพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในกรณีที่ ''n'' = 4 และกรณีที่ ''n'' เป็น[[จำนวนเฉพาะ]] ก็สามารถสรุปได้ว่าทฤษฎีบทเป็นจริงสำหรับทุกค่า ''n''.

แฟร์มาต์ได้พิสูจน์กรณี ''n'' = 4, [[เลออนฮาร์ด ออยเลอร์|ออยเลอร์]] พิสูจน์กรณี ''n'' = 3, [[Dirichlet]] และ [[Legendre]] พิสูจน์กรณี ''n'' = 5 เมื่อ [[ค.ศ. 1828]], [[Gabriel Lamé]] พิสูจน์กรณี ''n'' = 7 เมื่อ [[ค.ศ. 1839]]

[[แอนดรูว์ ไวลส์]] (Andrew Wiles) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษจาก[[มหาวิทยาลัย Princetonพรินซ์ตัน]] ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ โดยใช้เครื่องมือในการพิสูจน์คือ [[เรขาคณิตเชิงพีชคณิต]] (ในเรื่อง[[เส้นโค้งเชิงวงรี]] และ [[รูปแบบมอดุลาร์]]) , [[ทฤษฎีกาโลอิส]] และ [[พีชคณิต Hecke]] โดยได้รับความช่วยเหลือจาก [[ริชาร์ด เทย์เลอร์]] (Richard Taylor) ซึ่งเป็นลูกศิษย์ของเขาเอง บทพิสูจน์ของเขาได้ตีพิมพ์ลงในวารสาร ''[[Annals of Mathematics]]'' เมื่อ [[ค.ศ. 1995]]

ไวลส์ใช้เวลา 7 ปีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ เขาทำการพิสูจน์โดยลำพัง และเก็บเรื่องนี้เป็นความลับมาโดยตลอด (ยกเว้น ตอน review ตรวจทานครั้งสุดท้าย ซึ่งเขาได้ขอความช่วยเหลือจากเพื่อนของเขาที่ชื่อ [[Nick Katz]]) ในวันที่ 21-23 มิถุนายน [[ค.ศ. 1993]] เขาก็ได้แสดงบทพิสูจน์ของเขาที่[[มหาวิทยาลัยแคมบริดจ์เคมบริดจ์]] ผู้เข้าฟังการบรรยายครั้งนั้นต่างก็ประหลาดใจไปกับวิธีการต่าง ๆต่างๆ ในบทพิสูจน์ของเขา ต่อมา เขาก็พบข้อผิดพลาดในบทพิสูจน์ แต่ไวลส์และเทย์เลอร์ยังไม่ละทิ้งความพยายาม เขาใช้เวลาอยู่หนึ่งปีในการแก้ไข และในเดือนกันยายน [[ค.ศ. 1994]] เขาก็ได้เสนอบทพิสูจน์ใหม่อีกครั้งโดยใช้วิธีการที่แตกต่างไปจากเดิม เรื่องการพิสูจน์นี้จึงเป็นเรื่องที่น่าจดจำเลยทีเดียว

<blockquote style="font-style:italic;">Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos,<br />et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem <br />nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. <br />Hanc marginis exigitas non caperet.</blockquote>

<blockquote style="font-style:italic;">(มันเป็นไปไม่ได้ที่จะแบ่งจำนวนที่ยกกำลัง 3 ออกเป็นจำนวนที่ยกกำลัง 3 สองจำนวน<br />หรือแบ่งจำนวนที่ยกกำลัง 4 ออกเป็นจำนวนที่ยกกำลัง 4 สองจำนวน หรือกล่าวโดยทั่วไปว่า<br />ไม่สามารถแบ่งจำนวนที่ยกกำลังมากกว่า 2 ออกเป็นจำนวนที่ยกกำลังเท่าเดิมสองจำนวนได้<br />ฉันมีบทพิสูจน์ที่น่าอัศจรรย์สำหรับบทสรุปนี้ แต่พื้นที่ขอบกระดาษเหลือนี้มีพื้นที่น้อยเกินไปกว่าที่จะอธิบายเขียนบรรยายได้) </blockquote>

หลายคนต่างสงสัยใน "บทพิสูจน์ที่น่าอัศจรรย์" ของแฟร์มาต์ว่ามันมีอยู่จริงหรือไม่ บทพิสูจน์ของไวลส์นั้น หนาประมาณ 200 หน้า และยากเกินกว่าที่นักคณิตศาสตร์ในปัจจุบันจะเข้าใจ เป็นไปได้ว่าอาจจะมีในขณะที่บทพิสูจน์ที่สั้นกว่า และของแฟร์มาต์น่าจะใช้วิธีที่พื้นฐานมากกว่านี้ เนื่องจากข้อจำกัดด้านความรู้ทางด้านคณิตศาสตร์ในสมัยนั้น ซึ่งสถาบันก็เป็นเหตุให้นักคณิตศาสตร์ต่าง ๆ มักและนักประวัติศาสตร์ที่เชี่ยวชาญด้านวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่ก็ยังไม่ค่อยเชื่อว่าแฟร์มาต์จะได้รับมีบทพิสูจน์ที่ผู้คนส่งเข้ามาเสมอถูกต้องสำหรับเลขยกกำลัง ๆn และมันก็ดึงดูดความสนใจไม่น้อยทีเดียวทุกจำนวนจริงๆ

อย่างไรก็ตามแอนดรูส์ ไวลส์ เองก็เคยให้สัมภาษณ์ไว้ว่าเขาไม่เชื่อว่าแฟร์มาต์จะมีบทพิสูจน์ที่ถูกต้องจริง

<blockquote style="font-style:italic;">I don’t believe Fermat had a proof.<br /> I think he fooled himself into thinking he had a proof. But what has made <br /> this problem special for amateurs is that there’s a tiny possibility that <br /> there does exist an elegant seventeenth century proof. <br /> </blockquote>

<blockquote style="font-style:italic;">(ผมไม่เชื่อว่าแฟร์มาต์จะมีบทพิสูจน์ที่ถูกต้องจริง. ผมคิดว่าบทพิสูจน์ของเขา (ถ้าหลอกให้ตัวเองเชื่อว่าเขามีจริง) <br /> น่าจะเป็นบทพิสูจน์นั้น แต่สิ่งที่มีทำให้โจทย์ข้อผิดพลาด. อย่างไรก็ตามคำกล่าวอ้างของแฟร์มาต์นี้ก็ได้ให้ความหวังแก่<br />เป็นเรื่องพิเศษสำหรับนักคณิตศาสตร์สมัครเล่นทั่วก็คือ ๆมันทำให้เกิดความหวังว่า ไปว่าพวกเขายังมีโอกาสที่จะค้นพบเจอบทพิสูจน์อันสวยงามได้<br />โดยใช้เพียงความรู้คณิตศาสตร์ของในศตวรรษที่ 17.) </blockquote>