|
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นมโนทัศน์หนึ่งในสองมโนทัศน์หลักของ[[แคลคูลัส]] (อีกมโนทัศน์หนึ่งคือ[[ปฏิยานุพันธ์]] ซึ่งคือ[[ตัวผกผัน]]ของอนุพันธ์)
🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔨🔧🔧🔧🔧🔧🔧🔧🔧🔧🔧🔧🔧🔧⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽
== การหาอนุพันธ์และอนุพันธ์ ==
''การหาอนุพันธ์'' เป็นการคำนวณเพื่อที่จะได้มาซึ่งอนุพันธ์ อนุพันธ์ของ[[ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)|ฟังก์ชัน]] {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} ของตัวแปร {{math|''x''}} คืออัตราที่ค่า {{math|''y''}} ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงไปต่อการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร {{math|''x''}} เรียกว่า ''อนุพันธ์''ของ {{math|''f''}} เทียบกับ {{math|''x''}} ถ้า {{math|''x''}} และ {{math|''y''}} เป็น[[จำนวนจริง]] และถ้า[[กราฟของฟังก์ชัน]] {{math|''f''}} ลงจุดเทียบกับ {{math|''x''}} อนุพันธ์ก็คือ[[ความชัน]]ของเส้นกราฟในแต่ละจุด
[[ไฟล์:Wiki slope in 2d.svg|right|thumb|250px|ความชันของฟังก์ชันเชิงเส้น: <math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>]]
กรณีที่ง่ายที่สุด นอกเหนือจากกรณีของ[[ฟังก์ชันคงตัว]] คือเมื่อ {{math|''y''}} เป็น[[ฟังก์ชันเชิงเส้น]]ของ {{math|''x''}} ซึ่งหมายถึงกราฟของ {{math|''y''}} จะเป็นเส้นตรง ในกรณีนี้ {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'') {{=}} ''m'' ''x'' + ''b''}} สำหรับจำนวนจริง {{math|''m''}} และ {{math|''b''}} และความชัน {{math|''m''}} ซึ่งกำหนดโดยการเปลี่ยนแปลงของ {{math|''y''}} หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ {{math|''x''}} ดังสมการ
:<math>m = \frac{\Delta y}{\Delta x}</math>
เมื่อสัญลักษณ์ {{math|Δ}} ([[เดลตา]]) แทนคำว่า "การเปลี่ยนแปลง" สูตรนี้เป็นจริง เพราะว่า
:<math>y+\Delta y=f\left( x+\Delta x\right)
=m\left( x+\Delta x\right) +b
=mx +m\,\Delta x +b
= y + m\,\Delta x </math>
เพราะฉะนั้น จะได้
:<math>y+\Delta y=y+m\,\Delta x </math>
ทำให้ได้
:<math> \Delta y=m\,\Delta x </math>
ซึ่ง {{math|''m''}} เป็นค่าที่ถูกต้องของความชันของเส้นกราฟ ถ้าฟังก์ชัน {{math|''f''}} ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (กล่าวคือ กราฟของมันไม่เป็นเส้นตรง) แล้วการเปลี่ยนแปลงของ {{math|''y''}} หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ {{math|''x''}} จะมีค่าแตกต่างกันออกไป การหาอนุพันธ์จึงเป็นวิธีการที่จะหาค่าที่ถูกต้องของอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ค่าตัวแปรต้น {{math|''x''}} ใด ๆ
{{multiple image
| align = right
| direction = vertical
| width = 250
| header = อัตราการเปลี่ยนแปลงที่หาจากค่าลิมิต
| image1 = Tangent-calculus.svg
| caption1 = '''รูปที่ 1.''' [[เส้นสัมผัส]]ที่ (''x'', ''f''(''x''))
| image2 = Secant-calculus.svg
| caption2 = '''รูปที่ 2.''' [[เส้นตัด]]ของส่วนโค้ง ''y''= ''f''(''x'') กำหนดโดยจุด (''x'', ''f''(''x'')) และ (''x''+''h'', ''f''(''x''+''h''))
| image3 = Lim-secant.svg
| caption3 = '''รูปที่ 3.''' เส้นสัมผัสคือลิมิตของเส้นตัด
| image4 = Derivative GIF.gif
| caption4 = '''รูปที่ 4.''' ภาพเคลื่อนไหว: เส้นสัมผัส (อนุพันธ์) ที่หาจากลิมิตของเส้นตัด
}}
แนวคิดนี้ ซึ่งแสดงดังรูปที่ 1 ถึงรูปที่ 3 คือการคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงจาก[[ลิมิตของฟังก์ชัน|ค่าลิมิต]]ของ[[:en:difference quotient|อัตราส่วนของผลต่าง]] {{math|Δ''y'' / Δ''x''}} เมื่อ {{math|Δ''x''}} เข้าใกล้ค่าที่น้อยมาก
=== สัญกรณ์ ===
{{บทความหลัก|สัญกรณ์สำหรับการหาอนุพันธ์}}
มีสัญกรณ์สำหรับอนุพันธ์สองแบบที่ใช้กันโดยทั่วไป แบบหนึ่งมาจาก[[กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ|ไลบ์นิซ]] และอีกแบบหนึ่งมาจาก[[โฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์|ลากรางจ์]]
ใน[[สัญกรณ์ของไลบ์นิซ]] การเปลี่ยนแปลงที่[[กณิกนันต์|น้อยมาก]]ของ {{math|''x''}} แสดงได้เป็น {{math|''dx''}} และอนุพันธ์ของ {{math|''y''}} เทียบกับ {{math|''x''}} เขียนได้ดังนี้
: <math> \frac{dy}{dx} \,\!</math>
แสดงถึงอัตราส่วนของปริมาณที่น้อยมากสองปริมาณ (ข้างบนอ่านว่า "อนุพันธ์ของ ''y'' เทียบกับ ''x''" หรือ "d y บาย d x" รูปแบบ "d y d x" นี้ใช้กันในการสนทนาอย่างบ่อยครั้ง แต่มันอาจทำให้สับสนได้)
ส่วน[[สัญกรณ์ของลากรางจ์]] อนุพันธ์ของฟังก์ชัน {{math|''f''(''x'')}} เทียบกับ {{math|''x''}} แสดงได้เป็น {{math|''f{{'}}''(''x'')}} (อ่านว่า "f ไพรม์ของ of x") หรือ {{math|''f<sub>x</sub>''{{'}}(''x'')}} (อ่านว่า "f ไพรม์ x ของ x")
=== อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน ===
[[ไฟล์:Tangent animation.gif|thumb|250px|เส้นตัดเข้าใกล้เส้นสัมผัสเมื่อ <math>\Delta x \to 0</math>]]
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ''f'' ที่ ''x'' ในเชิงเรขาคณิต คือ ความชันของเส้นสัมผัสของกราฟ ''f'' ที่ ''x'' เราไม่สามารถหาความชันของ[[เส้นสัมผัส]]จากฟังก์ชันที่กำหนดให้โดยตรงได้ เพราะว่าเรารู้เพียงจุดบนเส้นสัมผัส ซึ่งก็คือ (''x'', ''f'' (''x'')) เท่านั้น ในทางอื่น เราจะประมาณความชันของเส้นสัมผัสด้วย[[เส้นตัด]] (secant line) หลาย ๆ เส้น ที่มีจุดตัดทั้ง 2 จุดอยู่ห่างกันเป็นระยะทางสั้น ๆ เมื่อหา[[ลิมิต (คณิตศาสตร์)|ลิมิต]]ของความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ เราจะได้ความชันของเส้นสัมผัส ดังนั้น อาจนิยามอนุพันธ์ว่าคือ ลิมิตของความชันของเส้นตัดที่เข้าใกล้เส้นสัมผัส
เพื่อหาความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ ให้ ''h'' เป็นจำนวนที่มีค่าน้อย ๆ ''h'' จะแทนการเปลี่ยนแปลงน้อย ๆ ใน ''x'' ซึ่งจะเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้ ดังนั้น ความชันของเส้นที่ลากผ่านจุด (''x'',''f (x) '') และ (''x+h'',''f (x+h) '') คือ
:<math>{f (x+h) -f (x) \over h}</math>
ซึ่งนิพจน์นี้ก็คือ [[อัตราส่วนเชิงผลต่าง]]ของ[[ไอแซก นิวตัน|นิวตัน]] (Newton's difference quotient) อนุพันธ์ของ ''f'' ที่ ''x'' คือ ลิมิตของค่าของผลหารเชิงผลต่าง ของเส้นตัดที่เข้าใกล้กันมาก ๆ จนเป็นเส้นสัมผัส:
:<math>f' (x) =\lim_{h\to 0}{f (x+h) -f (x) \over h}</math>
{{โครง-ส่วน}}
=== ตัวอย่าง ===
[[ไฟล์:Parabola2.svg|thumb|ฟังก์ชันกำลังสอง]]
ฟังก์ชันกำลังสอง {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>2</sup>}} หาอนุพันธ์ได้ที่ {{math|''x'' {{=}} 3}} และอนุพันธ์ของมันที่ตำแหน่งนั้นเท่ากับ 6 ผลลัพธ์นี้มาจากการคำนวณลิมิตของอัตราส่วนของผลต่างของ {{math|''f''(3)}} เมื่อ {{math|''h''}} เข้าใกล้ศูนย์:
:<math>
\begin{align}
f'(3) & = \lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{(3+h)^2 - 3^2}{h} \\[10pt]
& = \lim_{h\to 0}\frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{6h + h^2}{h} = \lim_{h\to 0}{(6 + h)}
\end{align}
</math>
นิพจน์สุดท้ายแสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนของผลต่างเท่ากับ {{math|''6'' + ''h''}} เมื่อ {{math|''h'' ≠ 0}} และไม่นิยามเมื่อ {{math|''h'' {{=}} 0}} เนื่องจากนิยามของอัตราส่วนของผลต่าง อย่างไรก็ตาม นิยามของลิมิตกล่าวว่าอัตราส่วนของผลต่างไม่จำเป็นต้องนิยามเมื่อ {{math|''h'' {{=}} 0}} ลิมิตก็คือผลลัพธ์จากการให้ {{math|''h''}} เข้าสู่ศูนย์ ซึ่งหมายถึงแนวโน้มของค่า {{math|6 + ''h''}} เมื่อ {{math|''h''}} มีค่าน้อยลงมาก ๆ
:<math> \lim_{h\to 0}{(6 + h)} = 6 + 0 = 6 </math>
ดังนั้น ความชันของกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่จุด {{nowrap|(3, 9)}} คือ 6 และอนุพันธ์ของมันที่ {{math|''x'' {{=}} 3}} คือ {{math|''f''′(3) {{=}} 6}}
ต่อไปนี้เป็นการคำนวณในทำนองเดียวกันในกรณีทั่วไป ซึ่งแสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองที่ {{math|''x'' {{=}} ''a''}} คือ {{math|''f''′(''a'') {{=}} 2''a''}}:
:<math>\begin{align}
f'(a) & = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} \\[0.3em]
& = \lim_{h\to 0}\frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{2ah + h^2}{h} \\[0.3em]
& = \lim_{h\to 0}{(2a + h)} = 2a
\end{align}</math>
=== ความต่อเนื่องและการหาอนุพันธ์ได้ ===
{{โครง-ส่วน}}
=== อนุพันธ์ในรูปฟังก์ชัน ===
[[ไฟล์:Tangent function animation.gif|thumb|250px|แสดงความชันในแต่ละจุดของฟังก์ชัน <math>\scriptstyle f(x)=1 + x\sin x^2</math> ซึ่งจะสังเกตเห็นได้ว่าเส้นที่แสดงความชันที่จุดใดๆจะสัมผัส (tangent) กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้นๆ ความชันในที่นี้ก็คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเอง หมายเหตุ สีเขียว คือ ความชันเป็นบวก สีแดง คือ ความชันเป็นลบ สีดำ คือ ความชันเป็นศูนย์]]
{{โครง-ส่วน}}
=== อนุพันธ์อันดับสูง ===
{{โครง-ส่วน}}
=== จุดเปลี่ยนเว้า ===
{{บทความหลัก|จุดเปลี่ยนเว้า}}
จุดที่อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย (จากจำนวนจริงลบเป็นจำนวนจริงบวก หรือในทางกลับกัน) เรียกว่า ''จุดเปลี่ยนเว้า''<ref>{{harvnb|Apostol|1967|loc=§4.18}}</ref> ที่จุดเปลี่ยนเว้า อนุพันธ์อันดับสองอาจเป็นศูนย์ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ {{math|''x'' {{=}} 0}} ของฟังก์ชัน {{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>3</sup>}} หรืออนุพันธ์อันดับสองอาจหาค่าไม่ได้ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ {{math|''x'' {{=}} 0}} ของฟังก์ชัน {{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>1/3</sup>}} ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจาก[[ฟังก์ชันเว้า]]ไปเป็น[[ฟังก์ชันนูน]]หรือในทางกลับกันที่จุดเปลี่ยนเว้า
== รายละเอียดสัญกรณ์ ==
| 