ผลต่างระหว่างรุ่นของ "1 − 2 + 3 − 4 + · · ·"
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
ล ย้อนการแก้ไขที่อาจเป็นการทดลอง หรือก่อกวนด้วยบอต ไม่ควรย้อน? แจ้งที่นี่ ป้ายระบุ: ย้อนด้วยมือ ถูกย้อนกลับแล้ว |
ห ป้ายระบุ: ย้อนด้วยมือ ถูกย้อนกลับแล้ว การแก้ไขผิดปกติในบทความคัดสรร/คุณภาพ |
||
บรรทัด 1:
{{บทความคัดสรร}}
[[ภาพ:Royal Monogram of Princess Maha Chakri Sirindhorn.svg|40px]]
[[ไฟล์:Stomach_colon_rectum_diagram-th.svg|thumb]]|กราฟแสดงผลรวมจำกัดพจน์ 15,000 ค่าแรกของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + …สองหี]]
ในทาง[[คณิตศาสตร์]] '''1 − 2 + 3 − 4 + ···''' เป็น[[อนุกรม]]อนันต์ที่แต่ละพจน์เป็น[[จำนวนเต็มบวก]]ลำดับถัดจากพจน์ก่อนหน้า โดย[[อนุกรมสลับ|ใส่เครื่องหมายบวกและลบสลับกัน]] ผลรวม ''m'' พจน์แรกของอนุกรมนี้สามารถเขียนโดยใช้สัญลักษณ์[[ผลรวม]]ได้ในรูป
เส้น 8 ⟶ 9:
อนุกรมนี้เป็น[[อนุกรมลู่ออก]] เพราะลำดับของผลรวมจำกัดพจน์ (1, -1, 2, -2, …) ไม่ลู่เข้าหา[[ลิมิต]]ที่เป็นจำนวนจำกัดใด ๆ อย่างไรก็ตาม มี[[ปฏิทรรศน์]]จำนวนมากที่แสดงว่าอนุกรมนี้มีลิมิต ใน[[คริสต์ศตวรรษที่ 18]] [[เลออนฮาร์ด ออยเลอร์]] ได้เขียนสมการซึ่งเขายอมรับว่าเป็นปฏิทรรศน์ต่อไปนี้
: =หี
เสามัญสำนึก และยังสามารถนิยามค่าของอนุกรมดังกล่าวได้ ตัวอย่างวิธีการหนึ่งเช่น หากนำอนุกรม (1 – 2 + 3 – 4 + ...) มาหาผลบวกกับตัวเอง 4 ครั้งในตำแหน่งที่เหมาะสม พจน์ที่เป็นจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มลบจะตัดกันไปหมด ยกเว้น "1" ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมนี้ซ้ำกัน 4 ครั้งมีค่าเท่ากับ 1 ตัวอนุกรมนี้จึงมีค่าเท่ากับ 1/หีหีหี
== การลู่ออกของอนุกรม ==
เส้น 38 ⟶ 28:
แต่ละพจน์ของอนุกรม 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... มีรูปแบบที่เรียบง่าย เราจึงสามารถจัดการขยับพจน์ต่าง ๆ ในตำแหน่งที่เหมาะสม เพื่อให้รวมกันแล้วเป็นค่าคงที่ได้ ถ้าหากกำหนดให้ {{nowrap|1=''s'' = 1 − 2 + 3 − 4 + …}} สำหรับบางจำนวน ''s'' เราจะสามารถสร้างปฏิทรรศน์ที่แสดงว่า ''s'' = {{frac|1|4}} ได้ดังนี้<ref>Hardy (p.6) นำเสนอสมการดังกล่าวพร้อมกับการหาค่า[[อนุกรมแกรนดี]] 1 − 1 + 1 − 1 + ...</ref>
:
[[ภาพ:Royal Monogram of Princess Maha Chakri Sirindhorn.svg|40px]]
[[ไฟล์:Stomach_colon_rectum_diagram-th.svg|thumb]]|แผนภาพแสดงการพิสูจน์ว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … = {{frac|1|4}} โดยใช้การขยับพจน์เพื่อให้อนุกรมนี้ 4 ชุดรวมกันแล้วเท่ากับ 1 ด้านซ้ายและด้านขวาของแผนภาพยังได้แสดงว่า ผลบวกของอนุกรมนี้ 2 ชุดรวมกันเท่ากับ 1 − 1 + 1 − 1 + ....]]
จึงได้ว่า <math>s=\frac{1}{4}</math> ดังที่แสดงในแผนภาพด้านขวา
ถึงแม้ในความเป็นจริง เราจะไม่สามารถหาผลรวมของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... ได้ แต่สมการ {{nowrap|1=''s'' = 1 − 2 + 3 − 4 + ... = {{frac|1|4}}}} ก็เป็นคำตอบที่เป็นธรรมชาติที่สุดหากต้องนิยามผลรวมขึ้นมา ในกรณีทั่วไป การหาวิธีนิยาม "ผลรวม" ของอนุกรมลู่ออกต่าง ๆ เรียกว่า[[วิธีหาผลรวม]] ซึ่งมีอยู่หลายวิธี และสามารถแบ่งหมวดหมู่ได้ตามสมบัติของมันที่เหมือนกับการหาผลรวมปกติ การหาผลรวมของอนุกรมตามวิธีการข้างต้นนั้นได้แสดงว่า วิธีหาผลรวมใด ๆ ที่เป็นเชิงเส้นและเสถียร จะหาผลรวมของ 1 − 2 + 3 − 4 + ... ได้เท่ากับ {{frac|1|4}} เสมอ<ref>Hardy p.6</ref> นอกจากนี้ วิธีการข้างต้นยังได้แสดงถึงความสัมพันธ์ของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … และ[[อนุกรมแกรนดี]] 1 - 1 + 1 - 1 + … กล่าวคือ
:
จากนั้น สร้างลำดับของผลต่างของพจน์ถัดกันในลำดับ 1, 2, 3, 4, ... ซึ่งจะได้ลำดับ 1, 1, 1, 1, … และเรียกพจน์แรกของลำดับนี้ว่า Δ''a''<sub>0</sub> การแปลงออยเลอร์นั้นขึ้นกับลำดับที่เกิดจากการหาผลต่างของพจน์ถัดกันของลำดับนี้ในขั้นที่สูงขึ้นไปเรื่อย ๆ แต่ในกรณีนี้ลำดับขั้นต่อ ๆ ไปจะเป็นศูนย์ทั้งหมด การแปลงออยเลอร์ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … นิยามโดย
|